Как китайская теорема об остатках используется в этом доказательстве?

Можете ли вы объяснить это подробно?

Вы должны применить китайскую теорему об остатках к кольцу $\prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$.

Это кольцо изоморфно кольцу $\times_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$. Пусть звонит $\фи$ этот изоморфизм.

Давайте вспомним, что для всех $x \in \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$, $x \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$ это $я$координата $\фи(х)$.

Затем мы вычисляем $t :=\phi^{-1}(t_1 \mod \mathfrak{p}_1^{e_{1}+1}, \dots, t_r \mod \mathfrak{p}_r^{e_{r}+ 1})$.

Таким образом $t\in\prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} $ (так как $\phi^{-1} : \times_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} \rightarrow \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$).

И $t\mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} = \phi^{-1}(t_1 \mod \mathfrak{p}_1^{e_{1}+1}, \dots, t_r \mod \mathfrak{p}_r^{e_{r}+1}) \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$ $$ = t_i \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} =t_i \mod \mathfrak{p}_i^{ e_{i}+1}$$