Карты криптографических инвариантов

В [БГК+18] в разделе 4, Boneh et al. напишите что:

Для любого выбора идеальных классов $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n,\mathfrak{a}_1',\dots,\mathfrak{a}_n'$ в ${Cl}(\mathcal{O})$, абелевы многообразия \начать{выравнивать} (\mathfrak{a}_1 \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n \star E) \text{ и } (\mathfrak{a}_1' \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n' \star E) \end{align} изоморфны над $\mathbb{F}_q$ если $\mathfrak{a}_1 \cdots \mathfrak{a}_n = \mathfrak{a}_1' \cdots \mathfrak{a}_n' $ в ${Cl}(\mathcal{O})$. В особый: \begin{align} (\mathfrak{a}_1 \star E) \times \dots \times (\mathfrak{a}_n \star E) \cong (\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_n) \star E \times E^{n-1} \end{выравнивание}

Доказательств в статье нет, и мне самому это доказать не удалось. Может ли кто-нибудь указать мне на доказательства этих утверждений?