Доказательство функции в $\operatorname{GF}(2^n)$ дифференциально k-равномерно

mathd

10.01.2023, 08:00

Я хочу показать это $F(x) = x^{-1}$ в $\operatorname{GF}(2^{n})$ дифференциально 4-равномерна для четных $n$, и дифференциально 2-равномерна для нечетных $n$, не глядя на таблицу дифференциального распределения.

Моя попытка:

Позволять $\alpha, \beta \in \operatorname{GF}(2^{n})$ и $\альфа\neq 0$

$$(х+\альфа)^{-1} - х^{-1} = \бета$$

$$\Rightarrow \frac{1}{x + \alpha} - \frac{1}{x} = \beta$$

$$\Стрелка вправо\бета х^{2}+\альфа\бета х+\альфа = 0$$

Как мы можем показать, что уравнение имеет не более 4 или 2 решений в $\operatorname{GF}(2^{n})$?

0 + 0

конечное поле

Daniel S

10.01.2023, 09:16

Это многочлен от одной переменной над полем. Вы должны знать результат, который ограничивает количество решений.

Ответить

mathd

10.01.2023, 10:40

У него не более 4 решений, я думаю, что нам не нужна граница.

Ответить

poncho

10.01.2023, 11:59

Имеет не более 2 решений; как сказал Даниэль, в поле нетривиальное квадратичное уравнение по одной переменной имеет не более двух решений, и это довольно известный результат.

Ответить

fgrieu

12.01.2023, 07:46

Для справки: $F$, являющийся $k$-равномерным, определяется как следующее: $k$ есть максимальное число решений $x$ для $F(x+\alpha)+F(x)=\beta$, когда $\alpha \ne0$ и $\beta$ принимают все возможные пары значений. Примечание. Я предполагаю, что определение $F$ этого вопроса предполагает $F(0)=0$. Подсказка: делайте алгебру внимательно. $u=v\matrel{\mathord{\rlap{\hspace{0,55em}\not}}\mathord{\Longleftrightarrow}}u\,w=v\,w$.

Ответить

Admin

Этот вопрос на других языках:

EN: Proving a function in $\operatorname{GF}(2^n)$ is differentially k-uniform

TH: การพิสูจน์ฟังก์ชันใน $\operatorname{GF}(2^n)$ เป็น k-uniform ที่แตกต่างกัน

RO: Demonstrarea unei funcții în $\operatorname{GF}(2^n)$ este k-uniformă diferențial

RU: Доказательство функции в $\operatorname{GF}(2^n)$ дифференциально k-равномерно

VI: Chứng minh một hàm trong $\operatorname{GF}(2^n)$ khác biệt k-uniform

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.