Структура композиции перестановок

Если $P_1, P_2$ являются конечными перестановками, что мы можем сказать о $P_3 = P_1 \cdot P_2$? То есть, какие свойства сочинение перестановок можно вывести из свойств перестановки, которые состоят?

Поскольку перестановки образуют группу, для любого $P_2$ и $P_3$, существует $P_1$ что при составлении с $P_2$ дает $P_3$. Таким образом, диапазон композиции охватывает все пространство перестановок. Однако это не означает, что мы не можем узнать некоторые сведения об их структуре или природе. Например: Если мы знаем циклическую структуру $P_1$ и $P_2$, можем ли мы узнать циклическую структуру $P_3$?

Или же, если $P_1$ представляет собой простой цикл (то есть сдвиг без фиксированных точек), и $P_2$ известно, каков диапазон $P_1 \cdot P_2$?

Или же, какая связь между $P_1 \cdot P_2$ и $P_2 \cdot P_1$?

В более общем плане: какие свойства композиции перестановок можно вывести из свойств отдельных перестановок? Или, если вы утверждаете, что такие свойства не могут быть выведены, пожалуйста, докажите это.

Если мы знаем циклическую структуру $P_1$ и $_2$, мы можем узнать циклическую структуру $_3$?

Нет. Рассмотрим случай, когда $P_1$ все фиксированные точки бара являются 2-циклом и $P_2$ имеет такое же строение. $P_3$ может быть личностью; он может состоять из двух непересекающихся 2-циклов и остальных неподвижных точек; это может быть 3-цикл и остальные неподвижные точки. Мы можем сказать, что если $P_1$ и $P_2$ принадлежат к одной и той же подгруппе (например, членство в чередующейся группе может быть выведено из структуры цикла), то так же $P_3$.

Если $P_1$ представляет собой простой цикл (то есть сдвиг без фиксированных точек), и $_2$ известно, каков диапазон $_1€ _2$?

Это объединение правых смежных классов подгрупп сдвига, пересечение которых равно $P_2$. Это близко к тавтологии, но я не могу придумать лучшего способа описать это.

какая связь между $_1€ _2$ и $_2€ _1$?

Это сопряжение по $P_2$ (и поэтому, в частности, имеет ту же структуру цикла). Позволять $Q=P_1P_2$ так что $P_1=QP_2^{-1}$ и $P_2\cdot P_1=P_2QP_2^{-1}$. $Q$ имеет $н!$ таких представлений существует представление, соответствующее любому данному конъюгату, и поэтому никакая дальнейшая структура не может быть выведена.