Как доказать поднятое шифрование Эль-Гамаля с помощью связи с квадратным корнем?

Я ищу более эффективное решение, чтобы доказать правильность нескольких зашифрованных текстов, отправленных разным сторонам.

Фон в том, что $P_i$ использует поднятое шифрование Эль-Гамаля для шифрования сообщения $x_j$ веселиться $P_j$, куда $j\in[N]$. Следовательно, зашифрованный текст будет $Enc_{pk_j}(x_j;r_j)$.

Теперь мне нужно сгенерировать доказательство для $P_i$ чтобы показать, что все сгенерированные им зашифрованные тексты верны.

Так как вторая часть шифрования вернет мне значение типа $g^{s_j}\cdot (PK_j)^{r_j}$, я не могу использовать пакетную или идентичную схему, чтобы доказать знание всех $s_j$ и $r_j$.

Я думаю, что здесь можно использовать обобщенное обязательство Педерсена. например, на первом ходу получатель вернется $\sqrt{N}$ ключ фиксации, а затем генерация прувера $\sqrt{N}$ обязательство.

Но я все еще запутался в конструкции,