Я пытаюсь решить проблему, которая звучит следующим образом:
Позволять $E_1 = (\text{Gen}_1, \text{Enc}_1, \text{Dec}_1)$ быть крипто
система, обладающая совершенной секретностью. Обозначьте пространство сообщения $\mathbb
M_1$, ключевое пространство $\mathbb K_1$ и пространство зашифрованного текста $\mathbb C_1$ ($\mathbb M_1=\mathbb C_1 = \mathbb T, \mathbb K_1 = \mathbb K$).
Позволять $E_2 = (\text{Gen}_2, \text{Enc}_2, \text{Dec}_2)$ быть криптосистемой с тем же пространством сообщений, пространством зашифрованного текста и пространством ключей, что и в $E_1$, с той лишь разницей, что $\text{Enc}_2(k,m)=\text{Dec}_1(k,m)$. Делает $E_2$ также иметь совершенную секретность?
Я пытался сделать следующее:
По определению совершенной секретности мы имеем это для любого распределения $D_1$ над $\mathbb M_1= \mathbb T$ и для любого $(m,c)\in \mathbb T \times \mathbb T$ с $\Pr[C_1 = с | M_1 = m]= Pr[C_1 = c]$ куда $Pr[M_1 = m] > 0$ ($M_1,C_1$ являются случайными величинами).
Теперь предположим некоторое распределение $D_2$ над $\mathbb M_2=\mathbb T$, и попытайтесь доказать, что эта криптосистема имеет совершенную секретность, например:
Позволять $m\in \mathbb M_2 = \mathbb T$ такой, что $Pr[M_2 = m] > 0$, и разреши $c\in\mathbb C_2 = \mathbb T$, тогда:
$Pr[C_2 = с| M_2 = m] = Pr[\text{Enc}_2(K,m)=c] = Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = $
Здесь было два пути продвижения вперед. $К$ случайная величина, распределенная некоторым распределением по $\mathbb К$ и это должно быть похоже для обеих криптографических систем, потому что они используют один и тот же $\text{Общество}$ алгоритм. Так:
$Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = \sum_{k:\text{Dec}_1(k,m)=c} Pr[K=k]$ но я не знаю, как выглядит алгоритм декодирования, поэтому не знаю, какими могут быть эти вероятности.
Другой подход заключался в том, чтобы предположить (возможно, ошибочно), что $Pr[\text{Dec}_1(K,m)=c] = Pr[M_1 = c | C_1 = м]$ и учитывая полную секретность $E_1$ что получается равным $Pr[M_1 = c]$
И $Pr[C_2 = c] = \sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m]*Pr[C_2 = c | M_2 = m] = \sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m]*Pr[M_1 = c] = Pr[M_1 = c]*\sum_{m\in\mathbb M_2} Pr[M_2 = m] = Pr[M_1 = c]*1 = Pr[M_1 = c]$
И так они равны, следовательно $E_2$ обладает полной секретностью.
Меня беспокоит то, что предположение, которое я сделал ранее, было ложным, и что $Pr[C_1 = c] может быть равно 0, и в этом случае это тоже неверно.
Я чувствую, что мне не хватает понимания того, что на самом деле означает совершенная секретность, и поэтому у меня есть только это определение, чтобы работать с ним.
Любые идеи, если это правильно?
Заранее спасибо.
