В AES нет эквивалента эллиптической кривой. группа используется в криптографии на основе эллиптических кривых. В частности, нет соответствия точкам с координатами, подчиняющимися уравнению кривой, или причудливому правилу их добавления.
Параллель с ECC останавливается на AES с использованием конечное поле для байтов, как и ECC для каждой координаты точки. В AES это поле $\operatorname{GF(q)}$ с $q=2^8=256$. В ECC поле $\operatorname{GF(q)}$ для некоторых гораздо больших $q$ (обычно с сотнями, а не с 9 битами).
Конечное поле можно рассматривать как конечный аналог множества вещественных чисел. $\mathbb R$ (или из дробей $\mathbb Q$), когда дело доходит до алгебры, ограниченной сложением, умножением, взятием противоположного или обратного и проверкой равенства (а не порядка). Набор с $q$ элементы можно сделать полем тогда и только тогда, когда $q=p^m$ за $р$ простое и целое число $м>0$. Когда $м=1$, поле $\operatorname{GF(p)}$ с премьером $р$ знакомый $\mathbb Z/p\mathbb Z$, также отметил $\mathbb Z_p$, или эквивалентно целые числа в $[0,р)$ с полевыми законами сложения и умножения по модулю $р$. Такое поле используется в ECC для так называемых простых кривых типа secp256k1 (с $р$ 256-битное простое число). Но ECC работает для любого большого конечного поля. Например. sect283k1 использует поле $\operatorname{GF(2^{283})}$, и это Группа эллиптических кривых использует поле $\operatorname{GF}(9767^{19})$.
Когда $м>1$, в том числе когда $р=2$, элемент поля можно рассматривать как вектор или кортеж $м$ элементы поля $\operatorname{GF(p)}$, или эквивалентно как $м$ коэффициенты многочлена $П(х)$ степени меньше, чем $м$ и коэффициенты в $\operatorname{GF(p)}$. Дополнение в поле $\operatorname{GF(p^m)}$ добавление компонентов вектора/кортежа в поле $\operatorname{GF(p)}$, или полиномиальное сложение. Когда $р=2$ что сводится к исключающее ИЛИ. Видеть это почему представление в виде коэффициентов многочлена имеет смысл четко определять умножение.
(в АЕС) $\operatorname{GF}(2^8)$ является полем расширения $\operatorname{GF}(2)$ (¦) Означает ли это, что каждый байт содержит 8 бит (каждый бит является элементом $\operatorname{GF}(2)$) ?
Это означает, что, и $\operatorname{GF}(2^8)$ снабжена двумя внутренними законами (операциями), которые делают его полем: сложение, сводящееся к сложению каждого из 8 компонентов в $\operatorname{GF}(2^8)$, и подходящее умножение.
Аналогично, что делают подполя $\operatorname{GF}(2^2)$ и $\operatorname{GF}(2^4)$ представлять здесь?
Это разные поля с 4 и 16 элементами, а не 256. Иногда может быть интересно представить элемент $\operatorname{GF}(2^8)$ как два элемента $\operatorname{GF}(2^4)$ или четыре элемента $\operatorname{GF}(2^2)$. Для сложения такое представление работает совершенно напрямую, а вот с умножением дело обстоит сложнее. Это не требуется в стандартной реализации или изучении AES (я видел, что это используется только в оптимизированной реализации S-блока AES).
