Уравнения скрытого поля - существование нулей

Позволять $\mathbb{F}_q$ быть конечным полем размера $q$ (основной) и $\mathbb{F}_{q^n}$ быть степенью-$n$ алгебраическое расширение $\mathbb{F}_q$.

Позволять $F$ быть полиномиальной функцией $\mathbb{F}_{q^n} \to \mathbb{F}_{q^n}$ формы $$ \sum_{i, j \in I_A} A_{i,j} X^{q^i + q^j} + \sum_{i\in I_B} B_i X^{q^i} + C $$ куда $A_{i,j}, B_i,$ и $С$ некоторые константы в $\mathbb{F}_{q^n}$.

Учитывая случайный $D \in \mathbb{F}_{q^n}$, нам нужно найти решение $Х$ за $F(X) = D$.

Мой вопрос: почему такое решение существует? Ассортимент $F$ крышка $\mathbb{F}_\mathbb{q^n}$? Как мы проверяем?

Такое решение не обязательно существует, если $Ф(Х)$ это полином перестановки над $\mathbb F_{q^n}$.

Полиномы перестановок — это именно те, диапазон которых охватывает все поле.

Бумага Распознавание функций перестановки за полиномиальное время (автор Neeraj Kayal, один из авторов теста простоты полиномиального времени AKS) дает тест полиномиального времени.