Идея, которую вы описываете (почти), работает, но, как вы заметили, «качество» получившегося люка несколько хуже, чем то, что нам кажется необходимым для создания прообразов нормы. $\leq\бета$. Однако качество является достаточно хорош, чтобы генерировать прообразы нормы, скажем, $\leq\beta\sqrt{m}$. Этого может быть достаточно для приложений, если параметры настроены правильно.
Например, эта идея оформлена формально и используется для «делегирования» люков в бумаге ЧКП-10 «Деревья бонсай», а также в [МП] для своего стиля люков.
Неизвестно, можно ли сделать то, о чем вы спрашиваете, без потери качества, но если это так, то это было бы очень удивительно; Я думаю, что большинство экспертов не ожидали бы, что это возможно.
Чтобы редукция решетки работала для заявленной цели, нужно было бы уменьшить заданные векторы нормы $<\бета$ в векторы нормы $<\бета/\sqrt{м}$ или так. Это представляется очень трудной проблемой. Ведь даже просто деление пополам длины некоторых заданных векторов кажутся трудными по той интуитивной причине, что мы могли бы затем делить пополам снова и снова, пока процедура не перестанет работать, давая нам почти кратчайший вектор решетки. На самом деле именно так работают некоторые (экспоненциальные) алгоритмы поиска кратчайших векторов путем итеративного деления пополам.
