Проблема в том, что когда мы сводим уравнение кривой $у^2=х^3+7$ по модулю 7 получаем уравнение $у^2=х^3$ которая не считается эллиптической кривой. Технический термин для этого состоит в том, что рациональная кривая $у^2=х^3+7$ имеет «плохое сокращение» в простом 7.
Причина того, что кривые формы $у^2=х^3$ не являются эллиптическими кривыми, потому что они не являются «гладкими». Это означает, что они имеют особое особая точка что ведет себя не хорошо. Грубо говоря, это означает, что касательные линии в этой точке не определены четко (что, в частности, означает, что правило удвоения кривой не имеет смысла в этой точке). В этом случае особая точка $(0,0)$ который является острие. (Плохая) редукция к такой кривой называется аддитивной редукцией, потому что существует групповой закон для неособых точек, но он такой же, как и для аддитивной группы конечного поля. В этом случае группа такая же, как сложение по модулю 7. Изоморфизм между группами прост: $t\neq 0$ целое по модулю 7 переходит в точку $(т^{-2},т^{-3})\мод 7$ а 0 уходит в бесконечность. Точно так же обратная карта отправляет точку $(х,у)$ к целому числу $х/у\мод 7$.
Для относительно мягкого изложения группового закона о сингулярных (негладких) кубиках я бы рекомендовал главу 9 «Эллиптических рассказов» Эша и Гросса, которая очень проста для читателя с небольшим опытом в алгебраической геометрии.
