Предположим, что у нас есть байесовская игра, где $t_i\in T_i$ обозначает тип игрока $я$. Скажем, у нас есть коммуникативная игра (коммуникативное равновесие). Игроки отправляют друг другу зашифрованные сообщения о своем типе. Если $L_i$ является изоморфным пространством $T_i$ и $\phi_i:T_i\to L_i$ является перестановкой (инъекция + сюръекция = биекция), то каждый игрок $я$ вместо того, чтобы отправлять свой тип друг другу, они могут отправить сообщение $\phi_i(t_i)=l_i$. Также, чтобы обезопасить себя от обмана, пусть $\rho_i:L_i\раз Y_i\до X_i$ быть шифром, который кодирует личную информацию игрока $я$, это, $y_i\in Y_i$ это ключ и $x_i\in X_i$ это код, где снова $\rho_i(\cdot,y_i)$ биективна, так что пара $(x_i,y_i)$ ассоциируется ровно с одним $l_i$. По техническим причинам мы сделали предположение $|Y_i|\geq|T_i|$ (но почему? Это собственность Шеннона?).
В нашей игре есть $I$ игроков, с приведенным выше представлением мы можем использовать лемму из теории вероятностей, а именно:
$\textbf{Лемма:}$ Если $\фи_i$ — случайная величина с носителем на $\{1,2,\dots,n_i\}$, и $y_i$ равномерно распределяется по $\{1,2,\dots,n_i\}$ независимо от $\фи_i$, то случайная величина $x_i$ определяется как $x_i=\phi_i\ominus_{n_i}y_i$ (куда $\phi_i\ominus_{n_i}y_i=\phi_i-y_i(mod{n}_i)$) также равномерно распределена по $\{1,2,\dots,n_i\}$.
Другими словами $l_i=\phi_i(t_i)=x_i\oplus_{n_i}y_i$. Тогда каждый игрок $я$ вместо отправки $l_i$ другим агентам в качестве сообщения, она отправляет половину из них $x_i$ а остальные (мы не знаем $I=2k$ или же $I=2k+1$, с $k\neq 0$ положительное целое число) $y_i$. Затем на следующем этапе они общаются друг с другом, чтобы объединить части и убедиться, что они только узнают $l_i=\phi_i(t_i)=x_i\oplus_{n_i}y_i$ (однако они до сих пор не научились $t_i$ но $\phi_i(t_i)=l_i$.
Мои вопросы следующие
- Безопасен ли этот механизм передачи информации? Если нет, то как я могу это сделать?
- Могу ли я использовать схему, как при обмене секретами, где каждый игрок $я$ может распределять доли ключа $y_i$ всем остальным игрокам $j\in I-\{i\}$? Например, могу ли я предположить, что $y_i$ записывается как линейная комбинация некоторых $w_i$ что все эти $w_i$ отличны от нуля и независимы, так что $y_i=\sum_{j=1}^{I-1}w_jy_j$? Это правильно или неправильно? Может ли кто-нибудь предоставить некоторую помощь-ссылки-руководство или показать некоторые математические расчеты, которые позволили бы сделать такую конструкцию?
В общем, как я могу обогатить этот механизм связи, чтобы он стал более эффективным и безопасным?
