Предположим, что у нас есть схема совместного использования нескольких секретов, и пусть $I$ быть набором агентов. Скажи это $S$ это пространство (однородных) случайных величин $s=(s_1,s_2,\cdots,s_I)\in S$ так что доля $s_1$ известно $P_1$, $s_2$ известно $P_2$ и так далее.
Согласно раскрытию секрета Шамира, предположим, что $\mathbb{F}$ является конечным полем. В этой схеме используется следующий общий факт полиномиальной интерполяции: полином степени не выше $t$ полностью определяется $t+1(<I)$ точки на многочлене. Например, две точки определяют прямую, а три точки определяют параболу. Этот общий факт верен не только для действительных чисел и комплексных чисел, но и для любой алгебраической области, в которой все ненулевые элементы имеют мультипликативную обратную (такая область называется полем, как это определено выше в его наиболее общей ситуации).
$\textbf{Вопрос:}$ Может ли кто-нибудь дать явную математическую структуру и доказательство соответствующей схемы совместного использования нескольких секретов, в которой требования правильности и теоретико-информационной конфиденциальности не выполняются?
Приветствуются любые ссылки на литературу! Кроме того, вместо того, чтобы использовать полиномиальную формулировку для доказательств, я был бы признателен, если бы вы использовали $+$ - по модулю $q$ или $\раз$ - по модулю $q$, куда $q$ является кардиналом конечного поля $\mathbb{F}$.
