Как определить, удалена ли точка на бесконечность в однородных координатах?

В однородных координатах имеем отношение эквивалентности $(X, Y, Z) \sim (\lambda X, \lambda Y, \lambda Z)$ куда $\лямбда\neq 0$.

• если $Z \neq 0$ то мы можем преобразовать $(Х, Y, Z)$ в аффинную точку как $(Х/Z,Y/Z)$ ( Заметь $\лямбда$с отменяет)

• если $Z = 0$ тогда с определением класса эквивалентности $(\лямбда X, \лямбда Y, 0)$ все представляет точку в бесконечности. т.е. $$(x,y,0)\sim(2x,2y,0)\sim(-x,-y,0)$$

  Поэтому, когда человек видит $Z=0$ в проективных координатах это бесконечно удаленная точка.

А если аффинная точка $(0,0)$ не удовлетворяет уравнению кривой, т.е. $b \neq 0$ в короткометражке Вейерштрасс $y^2 = x^3 + топор +b$, то это хорошее место для хранения бесконечно удаленной точки в аффинных координатах, где обычно она не имеет представления.

Обратите внимание, что обычно используется $(Х:Y:Z)$ обозначение однородных координат, которое я здесь не использовал.