Почему существуют разные версии атаки Полига-Хеллмана?

Я думаю, что понимаю атаку Полига-Хеллмана на эллиптических кривых. Со страницы 31 Пейринги для начинающих:

• Найдите групповой заказ $\#E(\mathbb{F}_q)$, назови это $n$, и факторизовать его. Пример: $966 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 23$
• Для каждого простого множителя $p_i$, вверху: умножить генератор $P$ и целевая точка (не знаю, что это за термин), $Q$, к $n/p_i$ (кофактор)
  • В этом конкретном примере нет простых множителей, возведенных в степень (например, факторизация не $2^3 \cdot 5^2$, но вы умножаете на $n$ делится на простое число, а не на простое число, возведенное в степень)
• Теперь у нас есть $[\frac{n}{p_i}]P$ и $[\frac{n}{p_i}]Q$.
• Мы знаем порядок $[\frac{n}{p_i}]P$ является $p_i$
• Таким образом, $[\frac{n}{p_i}]Q = [k \text{ mod } p_i]P$ куда $кП = Q$
• Мы решаем для $k\text{ мод } p_i$ и повторить для каждого $p_i$
• Тогда, используя китайскую теорему об остатках, мы можем найти $к\текст{ мод } п$

Это все примерно имеет смысл. Это также совпадает с другими объяснениями Полига-Хеллмана на этом сайте: Алгоритм Полига-Хеллмана.

Тем не менее, я сбит с толку, потому что кажется, что "полная" атака Полига-Хеллмана включает в себя представление $k_i$ как $z_0 + z_1p_i + z_2p_i^2 + ...$

Почему существует несколько вариантов алгоритма Полига-Хеллмана?