«Возможно ли гомоморфное отображение из $\mathbb F_{p^n}$
к $\mathbb Z_{p^n}$ который сохраняет операторы сложения и умножения?"
Кроме изоморфизма, когда $n=1$, только очень скучное отображение, отправляющее все в 0. Рассмотрим мультипликативное тождество $\mathbb F_{p^n}$. Запишем это как 1 и рассмотрим наш предполагаемый гомоморфизм $\фи$. Мы видим, что по аддитивности добавляя $к$ копии 1 для любого целого числа $к$ у нас есть $\phi(1+\cdots+1)=k\phi(1)\mod {p^n}$ и в частности с $к=р$ Мы видим, что $р\фи(1)=\фи(0)=0$ так что $\фи(1)=ср^{n-1}$ для некоторых $1\le c\le p$. Более того, по мультипликативности имеем $\фи(1)=\фи(1\cdot 1)=\фи(1)\фи(1)$ так что $\фи(1)=1$ или же $0$. Мы заключаем, что $с=р$ и $\фи(1)=0$ (кроме случая $n=1$). Далее, для любого $\alpha\in\mathbb F_{p^n}$ $\phi(\alpha)=\phi(1\cdot\alpha)=\phi(1)\phi(\alpha)=0$.
«Или, если мы ослабим требование, можем ли мы получить гомоморфное отображение из мультипликативной группы $\mathbb F_{p^n}^\times$ к $\mathbb Z_{p^n}^\times$ который сохраняет умножение?»
Только чуть менее скучно. Обратите внимание, что $|\mathbb F_{p^n}^\times|=p^n-1$ и $|\mathbb Z_{p^n}^\times|=p^n-p^{n-1}$. Размер образа любого гомоморфизма должен делить НОД этих двух, что равно $p-1$. Мы видим, что изображение должно быть подгруппой $(p-1)$й корни из 1 в $\mathbb Z_{p^n}$. Теперь выберите любой мультипликативный генератор $\mathbb F_{p^n}^\times$ назовите это $\альфа$. Есть точно $p-1$ групповые гомоморфизмы в зависимости от того, какой из $(p-1)$й корень 1 равен $\фи(\альфа)$. Ядром будет $\ell$силы в $\mathbb F_{p^n}^\times$ куда $\ell|(p-1)$ является мультипликативным порядком $\фи(\альфа)$ в $\mathbb Z_{p^n}^\times$.
