Анализ устойчивости к столкновениям

Я изучаю понятие защиты от столкновений хеш-функций. Однако я запутался, когда эксперимент по устойчивости к коллизиям начал использовать в эксперименте «ключевые» хеш-функции (а также в других подобных экспериментах). Это небольшая выдержка из Введение в современную криптографию Кац и Линделл:

Эксперимент по обнаружению столкновений:
1. Ключ s генерируется запуском Gen(1^n).
2. Противнику А дано s, и он выводит x; х^0
3. Выход эксперимента определяется как 1 тогда и только тогда, когда x \ne x0 и H^s(x) = H^s(x0).

Я понимаю, что без «ключевой» хеш-функции при формальном анализе безопасности злоумышленник может «обмануть» путем предварительного вычисления коллизий (до эксперимента). Но даже после добавления «ключа» злоумышленник может «обмануть», предварительно вычислив коллизии для всех «ключей». А во время эксперимента противник может выводить коллизии на основе ключа.Что решала хэш-функция с ключом в формальном анализе?