Рейтинг:3

Может ли алгоритм Шора учитывать гауссовые целые числа?

флаг dz

Это связано с этот вопрос о решении следующего выражения:

$$х^{2} + у^{2}$$

Это можно разложить на гауссовские целые числа как

$$(х + у)(х - у)$$

Если бы можно было разложить сумму двух квадратов и взять целочисленную составляющую $х$ можно было бы решить проблему.

Может ли алгоритм Шора разложить член по гауссовым целым числам? Точнее, можно ли его использовать для решения задачи суммы двух квадратов?

Рейтинг:2
флаг ng

Как упоминалось в связанной задаче, это довольно стандартная проблема в алгоритмической теории чисел, связанная с идеальная факторизация (например, это подразумевается в эти заметки). Обратите внимание, что решение в этом направлении требует, чтобы алгоритм Шора учитывал $х^2+у^2$ (рассматривая это как норму целого числа Гаусса --- разложение на множители является шагом 2 связанных заметок).

Связанная проблема также предлагает «незаметный» способ решения проблемы, по крайней мере, когда $n = p\equiv 1\bmod 4$ является простым. Это (неявно) обрабатывает все $n$ хотя, по

  1. факторинг $n$ с помощью Шора,
  2. решение проблемы для каждого фактора в отдельности, а затем
  3. объединение решений с помощью Брахмагупта — тождество Фибоначчи.

Конечно, это можно обобщить по-разному, но неясно, какое обобщение вас интересует, учитывая ваш текущий вопрос. В общем, я бы предложил квантовая сложность проблемы скрытых подгрупп, в котором есть несколько хороших ссылок на соответствующую работу.

Еще один способ рассмотреть вашу проблему - решить «уравнение нормы». $N(а) = х$, куда $N$ является полевой нормой $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$. Это также было сделано в более общем виде (квантово) с использованием методов, подобных алгоритму Шора. См., например, работу Биас и песня на вычислениях $S$-единичные группы, которые они упоминают, могут быть использованы для решения уравнений нормы $N_{L/K}(x) = \тета$ за $\тета\в К$.

Это все, чтобы сказать

  1. ваш конкретный случай прост и (неявно) решен в предыдущем ответе, и
  2. в последнее время были сделаны соответствующие обобщения, хотя их трудно описать без большого количества алгебраической теории чисел. Возможно, самым простым обобщением является решение уравнений нормы $N_{L/K}(x) = \тета$, что можно сделать с помощью методов, подобных Шору, с использованием недавней работы Биассе и Сонга.
флаг dz
Обобщение, которое меня больше всего интересует, на самом деле является бонусным вопросом, который, я думаю, достаточно отличается, чтобы оправдать отдельный вопрос. Спасибо за ответ - система по какой-то причине не позволяет мне проголосовать, несмотря на достаточную репутацию.

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.