Проверка цифровых подписей RSA

Я пытаюсь узнать о цифровых подписях RSA, и у меня есть вопрос о процессе проверки.

Мое понимание установки следующее:

Подписавшаяся сторона выбирает два секретных простых числа. $р$ и $q$, и показатель проверки $е$ удовлетворяющий $\gcd(e,(p-1)(q-1))=1$, затем публикует $N=pq$ и $е$.

Подписавшая сторона вычисляет секретную экспоненту подписи. $д$ такой, что $$de\equiv1\pmod{(p-1)(q-1)},$$

подписывает документ $Д$ вычисляя $$S\экв D^d\pmod N,$$ и отправляет $Д$ и $S$ к проверяющему.

Вот у меня беда.

Я читал, что верификатор вычисляет $$S^e \pmod N$$ и сравнивает результат с $Д$. Если результат действительно равен $Д$, то верификатор убеждается, что подпись действительна. Мой вопрос в том, почему следующее должно иметь место? $$S^e\equiv (D^d)^e\equiv D \pmod{N}$$

Я вижу, что если $Д$ и $N$ взаимно просты, то можно использовать формулу Эйлера. Но это означает, что мы можем только подписать документ $Д$ который взаимно прост с модулем $N$?