Вывод секретного ключа из двух разных открытых ключей

Покажите, что если два разных открытых ключа RSA $p_k$s известны злоумышленнику по одному и тому же секретному ключу $s_k$, тогда $s_k$ можно сломать

Я пришел к выводу, что если 2 показателя открытого ключа $е_1,е_2$ то они имеют одинаковый остаток по модулю $\фи$, но это все еще не помогает мне определить $д$.

Вы должны взглянуть на то, как $p_{k_1}$ и $p_{k_2}$ происходят от $s_k$ (или точнее как $e_1$, $e_2$ происходят от $д$). Как только вы это поймете, посмотрите, есть ли способ вывести модуль этой операции и, исходя из этого, вычислить $s_k$.

Это вопрос домашнего задания, поэтому я дам вам подсказку, а не ответ.

Предполагаемый подход состоит в том, чтобы не восстанавливать $д$ напрямую; вместо этого он должен учитывать модуль $n$ (и как только вы это сделаете, восстановите $д$ легко).

Итак, если у вас есть значение $n$ и значение $к\фи(п)$ для некоторого неизвестного целого числа $к$, как вы могли фактор?

Один простой подход будет работать, если вы предполагаете $к$ не слишком большой. Есть более причудливые подходы, когда вам не нужно делать это предположение, но почему бы вам не начать с упрощающего предположения...

(Кстати: у вас действительно есть значение $к\лямбда(п)$ за $\lambda(n) = \text{lcm}(p-1, q-1)$, однако это не имеет большого значения для этого вопроса...)