Пытаясь нарисовать связную картину, надеюсь, также отвечая на вопрос.
Здесь мы используем два разных полинома при определении поля $GF(2^{233})$, а именно
$$f_1(z)=z^{233}+z^{74}+1\qquad\text{and}\qquad f_2(z)=z^{233}+z^{159}+1.$$
Они оба неприводимы. На самом деле достаточно проверить, что одно неприводимо, потому что они суть друг друга. обратные многочлены. Это,
$$
z^{233}f_1(\dfrac1z)=f_2(z).\tag{1}
$$
С помощью этих двух многочленов мы можем определить два варианта $GF(2^{233})$. А именно поля
$$K_1=GF(2)[z]/\langle f_1(z)\rangle\qquad\text{and}\qquad K_2=GF(2)[z]/\langle f_2(z)\rangle.$$
По основной теореме о конечных полях мы знаем, что они изоморфны. Изоморфизм отнюдь не единственный (существуют $233$ различные автоморфизмы на выбор), но один из них выделяется из-за $(1)$. Если обозначить натуральные образующие $\alpha=z+\langle f_1(z)\rangle\in K_1$ и $\beta=z+\langle f_2(x)\rangle\in K_2$, то все из-за $(1)$, имеем изоморфизм $\сигма:К_1\до К_2$ однозначно определяется $\сигма(\альфа)=1/\бета$. Это потому что $(1)$ Говорит, что $1/\бета$ является корнем $f_1(z)$ как есть $\альфа$, и изоморфизм полей должен соблюдать такие полиномиальные отношения.
Если мы посмотрим на эллиптическую кривую
$$E:y^2+a_1 xy+a_3 y=x^3+a_2 x^2+a_4 x+a_6,\tag{2}$$ куда $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\in K_1$, то мы можем думать об «той же» кривой, как о заданной над $K_2$, если применить изоморфизм $\сигма$ где угодно. Мы заканчиваем с
$$
E':y^2+a_1' xy+a_3' y=x^3+a_2' x^2+a_4' x+a_6',\tag{2'}
$$
куда $a_i'=\sigma(a_i)\in K_2$ для всех индексов $я$. Другими словами, заменяем коэффициенты $a_i\in K_1$ с их изоморфными образами в $K_2$.
Так как изоморфизмы полей учитывают арифметические операции, отсюда немедленно следует, что если точка $P=(x,y)\in K_1\times K_1$ лежит на кривой $Е$, тогда $P'=(x',y')\in K_2\times K_2, x'=\sigma(x), y'=\sigma(y)$, является точкой на кривой $E'$.
Кроме того, полевые автоморфизмы также принимают линии в $K_1\раз K_1$ к линиям в $K_2\раз K_2$, а это означает, что приведенное выше отображение (еще назовем его $\сигма$) также требует добавления $Е$ к добавлению $E'$, так что это автоматически также изоморфизм основных групп двух эллиптических кривых. Так что если $к$ является целым числом и $Q=k*P=(u,v)\in E$ является целым числом, кратным $P$, тогда $Q'=k*P'=(u',v')$ куда $u'=\sigma(u),v'=\sigma(v)$.
Изоморфизм между основными полями автоматически производит изоморфизм эллиптических кривых и их групповых структур. при условии, что вы также применяете изоморфизм к коэффициентам определяющего уравнения (как отрывок из $Е$ к $E'$ выше).
На всякий случай записываю следующее. Надеваю шляпу учителя алгебры :-). Ошибка, которую часто допускают люди, плохо разбирающиеся в языке частных колец колец многочленов, состоит в том, что они приравнивают смежный класс $z+\langle f_1(z)\rangle$ с многочленом $z$. Думая, что $z$ может быть элементом $K_1$. Последующая путаница затем поднимает свою уродливую голову. Этот элемент совершенно не связан с элементом $z+\langle f_2(z)\rangle\in K_2$. Причина, по которой я обозначил их $\альфа$ и $\бета$ соответственно именно для того, чтобы избежать этой путаницы.
Иногда удобно обозначать смежный класс $z$ к $z$ также, но вы можете сделать это только в том случае, если описание поля никогда не меняется. Сравните с модульной арифметикой. Модуль $11$ смежный класс $2$ (так же часто просто обозначается $2$) на самом деле
$$\overline{2}=\{2,13,24,35,\ldots,-9,-20,-31,\ldots\}$$
но "тот же" смежный класс $2$ по модулю $13$ выглядит как
$$\overline{2}=\{2,15,28,41,\ldots,-11,-24,-37,\ldots\},$$
совсем другое животное. То же самое и с смежными классами многочленов.
Предостережение: чаще всего, когда есть два альтернативных определения конечного поля, отношение между соответствующими нулями двух многочленов более сложное. Случай обратных многочленов здесь весьма исключительный. Я просто не мог не использовать его.
