Объем решетки НТРУ

Это стандартное вычисление в теории чисел. Идея заключается в том, что записанная вами матрица является основой решетки как $\mathcal{O}_K$-модуль, но чтобы найти объем, вы сначала найдете $\mathbb{Z}$-базис для решетки, а затем делать с ним «стандартные» вычисления. Если $В$ это $\mathbb{Z}$-базис $\mathcal{O}_K$, то есть следующее:

$$B' = \begin{pmatrix}B & hB\ 0 & qB\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & h\ 0 & q\end{pmatrix}\otimes B$$

это $\mathbb{Z}$-основа для вашей решетки. Затем вы можете вычислить объем этого «стандартным» способом, например. взяв определители, чтобы получить, что:

$ $ \ det B ' = q ^ {\ deg \ mathcal {O} _K} (\ det B) ^ 2 $ $

это именно то выражение, которое вы написали.

Вероятно, вы можете найти это во многих (если не во всех) учебниках по алгебраической теории чисел. Например, я считаю, что это следствие леммы 2.23 из Милна примечания, но есть ряд абстракций, которые нужно раскрутить, чтобы убедиться в этом.