За $2$, легко увидеть, что эти переменные независимы, потому что каждая элементарная переменная, которая появляется в одном из выражений, не появляется в другом.
Например
$\mathbb{P}(a_2b_0=0| a_1b_1=0, b_2(a_0 + a_2 +1)=0) = \mathbb{P}(a_4b_4=0)$.
Я думаю, что хороший способ увидеть это - посмотреть энтропию одной из этих переменных:
$H (a_2 b_0 |a_1 b_1, b_2(a_0 + a_2 +1)) \geq
H (a_2 b_0 |a_0, a_1, b_1, b_2) = H (a_2 b_0)$.
Последнее равенство вытекает из независимости элементарных переменных.
Таким образом, мы можем вывести $H (a_2 b_0 |a_1 b_1, b_2(a_0 + a_2 +1)) = H (a_2 b_0) $.
О $1$, это сложнее, потому что $b_4, b_2, а_2, а_4$ появляются более чем в одном выражении.
Тогда вы должны показать, что $a_4, b_4, a_3, (b_0 + b_2), b_3, (a_0 + a_2), a_1, (b_2 + b_4), b_1, (a_2 + a_4)$ линейно независимы в $\mathbb{F}_2$ (выполняя линейную алгебру), таким образом, вы можете сделать вывод, что эти переменные (в конечном итоге плюс константа) являются независимыми (с вероятностной точки зрения).
И тогда вы должны использовать аргумент «если $Х, У, Z, Т$ независимы, то $XY$ и $ZT$ являются независимыми».
Редактировать: хороший способ увидеть независимость линейных переменных - вычислить определитель следующей матрицы (первая строка соответствует $a_4$, второй до $b_4$, четвертый по $b_0 + b_2$, и т.д.), вы также можете доказать, что эти семейства векторов генерируются $\mathbb{F}^{10}_p$, и выведите по мощности его базу, и, следовательно, векторы независимы:
$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 1 \
0 и 0 и 0 и 1 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \
0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 1 и 0 и 1 и 0 и 0 \
0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 1 и 0 \
1 и 0 и 1 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \
0 и 1 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 \
0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 1 и 0 и 1 \
0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0 и 1 и 0 и 0 и 0\
0 и 0 и 1 и 0 и 1 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0
\end{матрица}$
