В газете [ЛПР12], я узнал, что идеальные решетки — это идеалы в полях алгебраических чисел. Однако я не могу понять, почему мы определяем дуальную решетку идеальной решетки с $\operatorname{Tr}$:
$$
{L} ^ {\ vee} = \ {x \ in K: \ operatorname {Tr} (x {L}) \ subseteq \ mathbb {Z} \}
$$
Подробно, я имею в виду, для любого поля алгебраических чисел $К$, есть вложение, которое встраивает его в пространство $Ч$. За $K=\mathbb Q[\zeta]$, позволять $f\in\mathbb Q$ быть минимальным многочленом $\зета$. Предполагать $\зета$ имеет $s_1$ настоящие корни и $s_2$ пара комплексных корней (и $n=s_1+2s_2$), тогда
$$
H=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{s_{1}} \times \mathbb{C}^{2 s_{ 2}}: x_{s_{1}+s_{2}+j}=\overline{x_{s_{1}+j}}, \forall j \in\left[s_{2}\right]\right \} \subseteq \mathbb{C}^{n}
$$
Вложение осуществляется каноническим вложением $\сигма$ с.т. для любой $\альфа\в К$, $\sigma(\alpha)=(\sigma_i(\alpha))_{i\in[n]}$. Более того, $Ч$ можно дополнительно встроить $\mathbb R^n$ по изоморфизму $ч$, вложив сопряженные пары $(а+би,а-би)$ к $(\sqrt2a,-\sqrt2b)$. (Автор сказал, что это геометрия идеальной решетки.) Пока кажется, что все идет хорошо.
Однако для $\альфа,\бета\в К$, что соответствует $\sigma(\alpha)=v=(v_i)_{i\in[n]},\sigma(\beta)=w=(w_i)_{i\in[n]}$, внутренний продукт $v$ и $w$ определяется как
$$
\langle v,w\rangle=\sum_{i\in [n]} v_i\overline{w_i}
$$
что равно $\langle h(v),h(w)\rangle$ в $\mathbb R^n$.
Однако в определении двойственной решетки идеальной решетки используется $\operatorname{Tr}$ вместо такого внутреннего продукта. У нас есть
$$
\operatorname{Tr}(\alpha\beta)=\sum_{i\in[n]}\sigma_i(\alpha)\sigma_i(\beta)=\sum_{i\in[n]}v_iw_i
$$
который кажется отличным от внутреннего продукта.
Для типичного примера я хотел бы работать с $K=\mathbb Q[i]$. Имеет два вложения $\sigma_1(а+би)=а+би,\sigma_2(а+би)=а-би$ к $\mathbb С^2$, поэтому каноническое вложение
$$
\сигма(а+би)=(а+би,а-би)
$$
Работа с идеальной решеткой $(1+2i)\mathbb Z+(-2+i)\mathbb Z$, и отображение базы в $\mathbb R^2$ к $ч\циркуляр\сигма$, у нас есть $L'=h\circ\sigma(L)=(\sqrt2,-2\sqrt2)\mathbb Z+(-2\sqrt2,-\sqrt2 )\mathbb Z$. Затем мы лечим $L'$ как общую решетку и вычислить ее двойственную решетку как $(L')^\ast= (\frac{\sqrt 2}{10},-\frac{\sqrt2}5)\mathbb Z+(-\frac{\sqrt2}5,-\frac{\sqrt 2 {10})$. Если мы вычислим двойственную решетку $L$ к $\operatorname{Tr}$ определение, двойственная решетка будет
$$
L^\vee=(\frac1{10}-\frac15i)\mathbb Z+(-\frac15-\frac1{10}i)\mathbb Z
$$
который можно встроить в $\mathbb R^2$ как
$$
(h \ circ \ sigma) (L ^ \ vee) = (\ frac {\ sqrt2} {10}, \ frac {\ sqrt 2} 5) \ mathbb Z + (- \ frac {\ sqrt 2} 5, \ frac {\ sqrt 2} {10}) \ mathbb Z
$$
что отличается от $(L')^\ast$, он заменяет вторую запись базисных векторов их противоположным номером. Почему это происходит? Я сделал что-то не так? Или их другое геометрическое представление об идеальной решетке имеет смысл?
