q-ичные решетки - доказательство двойственности до масштаба

Две решетки определяются следующим образом: \начать{выравнивать} \Lambda_q ^ {\bot}{(A)} & = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^m: A\mathbf{x} = \mathbf{0}\text{mod}q\ } \ \Lambda_q{(A)} & = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^m: \mathbf{x} = A^T\mathbf{s} \text{mod}q \text{для некоторые } \mathbf{s} \in \mathbb{Z}^n_q\}. \end{выравнивание} Т.С.Т.

1. $\Lambda_q{(A)} = q \cdot \Lambda_q^{\bot}{(A)}^*$, куда $\Lambda_q^{\bot}{(A)}^*$ является двойником $\Lambda_q^{\bot}{(A)}$, и
2. $\Lambda_q^{\bot}{(A)} = q \cdot \Lambda_q{(A)}^*$, куда $\Lambda_q{(А)}^*$ является двойником $\Lambda_q{(А)}$.

В большинстве ссылок я вижу, что это оставлено в качестве упражнения, и я не могу разработать доказательство.