Рейтинг:0

Объем $q^n$ дуальной q-ичной решетки в MR09

флаг za

Учитывая матрицу $\mathbf{A} \in \mathbb{Z}^{n \times m}$, $м$ достаточно большой по отношению к $n$ и премьер $q$. Ряды $\mathbf{А}$ линейно независимы с большой вероятностью. В MR09 авторы утверждают, что количество векторов в $\mathbb{Z}_q^m$ принадлежащий $q$-арная решетка $\Lambda_q^\intercal(\mathbf{A})$ является $д^{м-п}$ и поэтому следует, что $\text{det}(\Lambda_q^\intercal(\mathbf{A})) = q^n$.

Я так понимаю размерность ядра $\mathbf{А}$ (что эквивалентно размерности двойственной решетки) есть $m-n$. Тем не менее, я не понимаю, как сразу следует том, и был бы признателен за объяснение.

Рейтинг:0
флаг ng

Заметим, что для решетки $L\subseteq\mathbb{R}^n$, $\det(L)$ объем фундаментальный домен. Часто таких объектов много, но обычно два представляют наибольший интерес:

  1. Ячейка Вороного $\mathcal{V}(L) = \{x\in\mathbb{R}^n\mid \forall \ell\in L\setminus\{0\}, \lVert x\rVert_2\leq \lVert x- \ell\rVert_2\}$, например это точки в $\mathbb{R}^n$ которые ближе к 0, чем любая другая точка решетки.
  2. Фундаментальный параллелепипед --- для основы $\mathbf{B}$ решетки, это множество $\mathbf{B}[0,1)^n$ (или иногда $\mathbf{B}[-1/2,1/2)^n$.

Вплоть до некоторых проблем на границе фундаментальная область «плитки пространства», что означает, что сумма

$$L + D = \mathbb{R}^n$$

это раздел. Если предположить, что решетка $q$-ary, мы можем уменьшить все мод $q$ чтобы получить это $(L\bmod q) + (D\bmod q) = \mathbb{R}/q\mathbb{R}^n$ также является разбиением [1]. Взяв объемы, мы получаем, что $$|L\bmod q||D\bmod q| = q ^ n \ подразумевает | L \ bmod q | = \frac{q^n}{|D|} = \frac{q^n}{\det L}.$$ То, что вы хотите, следует из использования того, что решетка $м$-размерный и имеет $|L\bmod q| = д ^ {м-п} $ точек, поэтому определитель должен быть $q^n$.


[1] Могут быть некоторые проблемы с особенно неправильными фундаментальными доменами. $Д$ здесь (в частности, фундаментальные области, не содержащиеся в $[-q/2, q/2)^n$, но если вы позволите $Д$ В ячейке Вороного все кажется в порядке, и я даже не уверен, вызвано ли это беспокойство, о котором я упоминаю, какой-то особой причиной.

флаг za
Спасибо, это очень помогает! Не уверен, понял ли я беспокойство, которое вы подняли, но остальное имеет смысл.
Mark avatar
флаг ng
Вам нужно, чтобы модульная редукция оставалась разделом. Это ясно для меня при условии, что $D\subseteq [-q/2, q/2)^n$, так как тогда модульная редукция «просто» сжимает все эти области вместе (и является тождеством на копии $D$ в истоке). Ячейка Вороного $q$-ичной решетки всегда удовлетворяет этому требованию, поэтому я упомянул о ней особо. Вполне вероятно, что модульная редукция сохраняет разбиение даже для более общего $D$, но тогда модульная редукция больше не является тождеством на копии $D$ в начале координат, и я не думал о том, что тогда происходит.

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.