Заметим, что для решетки $L\subseteq\mathbb{R}^n$, $\det(L)$ объем фундаментальный домен.
Часто таких объектов много, но обычно два представляют наибольший интерес:
- Ячейка Вороного $\mathcal{V}(L) = \{x\in\mathbb{R}^n\mid \forall \ell\in L\setminus\{0\}, \lVert x\rVert_2\leq \lVert x- \ell\rVert_2\}$, например это точки в $\mathbb{R}^n$ которые ближе к 0, чем любая другая точка решетки.
- Фундаментальный параллелепипед --- для основы $\mathbf{B}$ решетки, это множество $\mathbf{B}[0,1)^n$ (или иногда $\mathbf{B}[-1/2,1/2)^n$.
Вплоть до некоторых проблем на границе фундаментальная область «плитки пространства», что означает, что сумма
$$L + D = \mathbb{R}^n$$
это раздел. Если предположить, что решетка $q$-ary, мы можем уменьшить все мод $q$ чтобы получить это $(L\bmod q) + (D\bmod q) = \mathbb{R}/q\mathbb{R}^n$ также является разбиением [1].
Взяв объемы, мы получаем, что
$$|L\bmod q||D\bmod q| = q ^ n \ подразумевает | L \ bmod q | = \frac{q^n}{|D|} = \frac{q^n}{\det L}.$$
То, что вы хотите, следует из использования того, что решетка $м$-размерный и имеет $|L\bmod q| = д ^ {м-п} $ точек, поэтому определитель должен быть $q^n$.
[1] Могут быть некоторые проблемы с особенно неправильными фундаментальными доменами. $Д$ здесь (в частности, фундаментальные области, не содержащиеся в $[-q/2, q/2)^n$, но если вы позволите $Д$ В ячейке Вороного все кажется в порядке, и я даже не уверен, вызвано ли это беспокойство, о котором я упоминаю, какой-то особой причиной.
