Какова ценность $П(х)$ должно быть?
Ничего такого. Мы заинтересованы в коэффициенты полинома $П(х)$, которые ограничиваются Булевы значения $\{0,1\}$. Эти коэффициенты отражают разводку LFSR. Для других полиномов они могут отражать состояние LFSR. Нам редко приходится вычислять этот многочлен $П(х)$, или другие полиномы, которые мы используем, для конкретного значения $х$, или даже указать набор $х$ принадлежит. Думать о $х$ как неуказанная переменная, будь то целые числа $\mathbb Z$, рациональные $\mathbb Q$, реалы $\mathbb R$, комплексы $\mathbb С$, как вы считаете нужным; и уверенно выполнять арифметические действия над такими многочленами по стандартным правилам алгебры, модифицированным $1+1=0$ (эквивалентно, приведя все коэффициенты многочленов по модулю $2$).
Крайний правый триггер представлен $1$. Это сокращение для $х^0$?
Да. Еще одна причина, по которой мы пишем $1$ заключается в том, чтобы избежать необходимости определять $0^0$.
Четыре триггера помечены $0,1,2,3$. Так почему же термин «степень четыре»?
Член четвертой степени встречается только в $П(х)$, который представляет собой разводку LFSR, а не состояние его триггеров. При работе с состоянием оно будет представлено полиномом $S(х)$ степени не более трех.
Также: когда мы уменьшаем любой многочлен по модулю многочлена $П(х)$, остаток $S(х)$ имеет степень строго ниже, чем $П(х)$, поэтому его коэффициенты (обычно новое состояние LFSR) соответствуют четырем триггерам.
Еще один способ увидеть это состоит в том, что термин $х^4$ в $П(х)$ соответствует биту, который выходит из сдвигового регистра при сдвиге на один бит (эквивалентно умножению состояния на $х$), а остальные биты соответствуют настройкам новых состояний каждого триггера.
Заставляет меня задаться вопросом, не является ли это «уравнение» на самом деле уравнением, которое вы ожидаете выдать для использования, а каким-то извилистым способом просто описать архитектуру LFSR?
Верно, $П(х)$ речь идет об архитектуре LFSR. Представление в виде полинома $П(х)$ для архитектуры и $S(х)$ для состояния полезно установить свойства LFSR. В частности, для LFSR в форме Галуа состояние эволюционирует по $S_{i+1}(x)=S_i(x)\,x\bmod P(x)$, откуда следует $S_i(x)=S_0(x)\,x^i\bmod P(x)$.
Примечание: здесь, $\bmod$ дает остаток за полиномиальное деление, опять же с коэффициентами в логических значениях.
¹ Исключения: оценка $П(х)$ в $х=1$ в логических значениях или $х=2$ для целых чисел иногда дают интересные значения.
