Заявление «мы рассчитываем произвести $2^{64.3}$ чисел до того, как мы начнем повторять», верно только в том случае, если мы считаем, что 128-битный средний квадрат ведет себя как случайное отображение на $\{0,1\}^{128}$. Однако мы можем показать, что оно обладает свойствами, маловероятными для случайного отображения.
Напомним, что 128-битный средний квадрат поддерживает 128-битное состояние. $S_t$. Обновления эффективно выполняются путем возведения в квадрат $S_t$, и взяв биты 64-191 как новые $S_{t+1}$ то есть
$$S_{t+1}=(S_t^2>>64)\%2^{128}.$$
Штат $S_t=0$ представляет фиксированную точку. Хотя случайные отображения имеют фиксированные точки с вероятностью примерно $(1-1/e)$, это необычно, так как имеет большое количество прообразов. Любой номер $С<2^{32}$ будет отображаться в 0, как и любое число $S$ делится на $2^{96}$. Одни только эти прообразы (могут быть и другие) в сумме $2^{33}$ когда для большой случайной карты мы ожидаем, что количество прообразов будет распределено Пуассоном (1). Более того, если мы рассмотрим предшественников, любое количество $С<2^{64}$ будет отображаться на меньшее число и число меньше, чем $2^{63}$ достигнет 0 менее чем за 6 шагов. Аналогично для чисел, делящихся на $2^{65}$. Это дает по крайней мере $2^{64}$ предшествующие состояния для 0, когда случайная карта ожидала бы $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ (при этом время коалесценции примерно такое же). Число состояний-предшественников еще более возрастает, если мы рассматриваем возможных предшественников наших гарантированных состояний. $2^{64}$ государства-предшественники, если каждый из них имеет $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ предшественников, мы могли бы увидеть положительную долю нашего пространства, вырождающегося в состояние 0.
Существует также сохранившееся числовое подпространство, которое точно делится на $2^{64}$ (это пространство размером $2^{63}$), которые, как мы могли бы ожидать, будут демонстрировать случайную статистику отображения для меньшего пространства (например,длина цикла $2^{31,5}\sqrt{\pi/8}$). Затем мы рассматриваем предшественников для этого подпространства и получаем ожидания, значительно отличающиеся от полного случайного отображения.
В целом эти структуры очень нетипичны для случайного отображения, и мы должны заключить, что случайное отображение не является хорошей моделью в этом случае.
