Как доказать неравенства q-ичного определителя решетки?

за $A\in{Z_q^{n*m}}$ и $A^{'}\in{Z_q^{m*n}}$,у нас есть

• $det{({\land}_q^{\bot}(A))}{\le}q^n$ и $det{({\land}_q(A^{'}))}{\ge}q^{mn}$
• если q простое число и A, A' неособы в конечном поле $Z_q$, приведенные выше неравенства являются равенствами.

куда $ {\ land} _q ^ {\ bot} (A) = \ {x {\ in} Z ^ m | Ax = 0 {\ bmod} q \} $ и $ {\ land} _q (A) = \ {y {\ in} Z ^ m | y = As {\ bmod} q \} $

Приведенное выше содержание взято из конспекта лекций Д. Дадуша (лемма 4). лекция_9.Я не знаю, как доказать приведенную выше лемму, потому что доказательство в конспекте лекции слишком схематично для меня. Я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог предоставить более подробное доказательство...

Я черпаю вдохновение из ppt Вадима. Но я доказываю только половину теоремы.

Доказательство: $ {\ потому что {\ land_q ^ {\ bot}} (A) $ целочисленная решетка, $ {\ поэтому} {det ({\land_q ^ {\bot}}(A))}=|{Z ^ m}/{\land_q ^{\bot}}(A)|$. давайте определим отображение ${f}:{Z^m}{\to}{Z_q^{n}}$,${f:Ax{\bmod}q}$.Это легко проверить $f$ гомоморфен. Согласно основной теореме гомоморфизма ¼$|{Z^m}/пропил|=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|=|im({Z^m})|$.Так как $ im ({Z ^ m}) {\ subseteq} {Z_q ^ {n}} $,так ${det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|{\leq}q^n$. Если q простое, а A неособое, то $f$ является полным гомоморфизмом, поскольку каждый образ в ${Z_q^{n}}$ можно найти исходное изображение в ${Z^м}$.Так $im({Z^m})={Z_q^{m}}$ и ${det({\land_q^{\bot}}(A))}=|{Z^m}/{\land_q^{\bot}}(A)|=q^n$.

Однако я не нашел способа доказать другую половину теоремы. Я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог привести остальную часть доказательства.