Является ли $H:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{p}^{*}$ и $a \mapsto g^a\bmod p$ с $p$ простым (сильно) свободным от коллизий?

Позволять $H:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{p}^{*}$ и $a \mapsto g^a\bmod p$ за $g \in \mathbb{Z}_{p}^{*}$ куда $р$ является простым. Является ли эта функция (сильно) бесколлизионной в смысле, что мы не можем найти практически $x_1$,$x_2$ такой, что $Ч(х_1)=Ч(х_2)$?

Я возражаю против следующего рассуждения: пусть $А$ быть алгоритмом, который генерирует $x_1 \neq x_2$ такой, что $Ч(х_1)=Ч(х_2)$ и определить $A: \mathbb{N} \rightarrow (X_1,X_2)$ $A: n \mapsto (n,n+(p-1))=(x_1,x_2)$ мы действительно находим с помощью малой теоремы Ферма, что $g^{x_2}=g^{n+(p-1)}=g^{n}g^{p-1}=g^{n}=g^{x_1}$

Мой большой страх заключается в том, что я перепутал (слабое) отсутствие столкновений с сильным без столкновений. Если что-то не так, любые намеки, что сделать лучше.

Нет, по нашему определению, которое мы используем, он действительно не (сильно) свободен от коллизонов. Потому что с алгоритмом $А$ мы уже построили очень быстрый способ вычисления таких $x_1,x_2$ с $Ч(х_1)=Ч(х_2)$ а это практически по определению противоречит условию бесколлизийности.