Вопрос о выполнении квантовых вычислений на однородных суперпозициях

Вы могли бы бежать Алгоритм Гровера на вершине $n$ биты регистра для $2^{n/2}$ шаги, но это, вероятно, менее эффективно, чем вы надеялись.

Что-то лучше, чем Гроувер, вряд ли получится (я не уверен, насколько далеко в результате "залки" не пойдет "Алгоритм квантового поиска Гровера оптималенрасширяется до следующего). Такого алгоритма было бы достаточно, чтобы инвертировать произвольную перестановку на $\mathbb F_2^n$ (и, следовательно, любая перестановка как следствие). Чтобы увидеть это, предположим, что мы наделены цепью $U_\пи$ чтобы оценить нашу таинственную перестановку $\пи(х)$. Мы создаем государство $|\phi\rangle|0^n\rangle$ и применить $U_\пи$ чтобы получить $|\psi\rangle:=\sum 2^{-n/2}|x\rangle|\pi(x)\rangle$. Обратите внимание, что финал $n$ биты в состоянии $|\фи\rangle$ так как $\пи$ является перестановкой. Если поменять местами первую и вторую половину регистров, то получим $\sum 2^{-n/2}|x\rangle|\pi^{-1}(x)\rangle$ и запуск нашего предполагаемого алгоритма для вашей задачи позволит нам вычислить $\пи^{-1}(х^*)$ для любой $х^*$. Ограничение случая $0^n$ делает, чтобы уменьшить мощность такого алгоритма, рассматривая функцию (соответственно перестановку) $f(х\оплюс х^*)$ (отв. $\пи(х)\оплюс х^*$).