Предполагая, что вы говорите об обычной формулировке BB84, и Боб (получатель) должен выбрать либо основу $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ или основа $\{|+\rangle,|-\rangle\}$, то вероятность составляет ровно 1/2 каждого измерения, когда выбран неправильный базис.
Чтобы увидеть это, вспомните, что
$$|+\rangle=\frac1{\sqrt2}|0\rangle+\frac1{\sqrt2}|1\rangle$$
$$|-\rangle=\frac1{\sqrt2}|0\rangle-\frac1{\sqrt2}|1\rangle$$
так что если, например, мы измерим $|-\rangle$ в $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ основе, мы получаем $|0\угол$ с вероятностью $(1/\sqrt2)^2=1/2$ и $|1\угол$ с вероятностью $(-1/\sqrt 2)^2=1/2$. Так же
$$|0\rangle=\frac1{\sqrt2}|+\rangle+\frac1{\sqrt2}|-\rangle$$
$$|1\rangle=\frac1{\sqrt2}|+\rangle-\frac1{\sqrt2}|-\rangle$$
так что если, например, мы измерим $|0\угол$ в $\{|+\rangle,|-\rangle\}$ основе, мы получаем $|+\угол$ с вероятностью $(1/\sqrt2)^2=1/2$ и $|-\rangle$ с вероятностью $(1/\sqrt 2)^2=1/2$.
Во всех случаях с несовпадением баз передачи и измерения, 1/2 времени мы измеряем состояние, соответствующее 0, и 1/2 времени, когда состояние соответствует 1. Эта вероятность не зависит от передаваемого состояния.
