Рейтинг:0

Количество непроизвольных ключей в перестановочном шифре

флаг au

Я пришел со следующей проблемой из Теория и практика Книга Стинсон-Патерсон. В нем говорится следующее:

2.17

а) Докажите, что перестановка $\пи$ в перестановочном шифре непроизвольный кейф (в том и только в том случае, если) $\пи(я) = j$ подразумевает $ \ пи (j) = > я $, для всех $i,j \in \{1,...,m \}$.

б) Определить количество инволютивных ключей в Перестановка Шифр за $м = 2,3,4,5,$ и 6.

Я доказал первый пункт, показав, что индексы $х$ и $y's$ остаются прежними, однако у меня нет подсказки, чтобы определить второй элемент b, это я не уверен в роли ключа в этом типе шифра; любые разъяснения, действительно один четкий ответ был бы хорош.

kelalaka avatar
флаг in
2, 4, 10, 26, 76, см. http://oeis.org/A000085, первый; тож и крест, надо попробовать...
João Víctor Melo avatar
флаг au
Действительно, я хочу абсолютно четкого ответа, иначе это не имеет смысла.
kelalaka avatar
флаг in
Действительно, это имеет смысл. Хочешь, мы посчитаем тебе все 76? вот третий; тождество, первый элемент фиксируется, другой заменяется местами, второй элемент фиксируется, другой заменяется местами, а третий фиксируется, а другие меняются местами. Определение требует руки и наблюдения, выведение формул затруднено. См. https://mathworld.wolfram.com/PermutationInvolution.html
Рейтинг:1
флаг in

Инволюции находятся во взаимно однозначном соответствии с самосопряженными перестановками (т. Е. Перестановками, которые являются их собственной обратной перестановкой).

Серия представлена ​​в ОИС A000085.

формула для числа перестановок инволюции на $n$ буквы есть;

$$I(n) = 1 + \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{(k+1)!} \prod_{i=0} ^k \binom{n-2i}{2}$$

Небольшой ручной расчет

Во-первых, перестановка личности $\varepsilon$ всегда инволюция. Здесь мы будем использовать однострочное обозначение.

  • $м =2$ тогда $\varepsilon = (1,2)$ и $(2,1)$ являются инволюциями.

  • $м =3$ тогда $\varepsilon = (1,2,3)$, $(1,3,2)$,$(3,2,1)$, и $(2,1,3)$ 4 возможных.

  • $м =4$ тогда $\varepsilon = (1,2,3,4)$ и

    • исправьте сначала $(1,а,б,в)$ тогда у нас есть 3, по предыдущему случаю; $(1,2,4,3),(1,4,3,2),(1,3,2,4)$
    • исправить второй $(а,2,в,г)$ то у нас есть 2, $(3,2,1,4),(4,2,3,1)$ (один существовал в предыдущем случае)
    • исправить третий $(а,б,3,г)$ то у нас есть 1, $(2,1,3,4)$
    • исправить четвертый $(а,б,в,4)$ то имеем 0; все существовало раньше.
    • фиксированный двойной затем $(4,2,3,1)$
    • удваивается $(3, 4, 1, 2),(2,1,4,3)$

Код Sagemath для 5

р = перестановка ([1, 2,3,4,5])
для i в диапазоне (0, факториал (5)):
    если p == p.inverse():
        печать (р)
    р = р.следующий()

С выходом

[1, 2, 3, 4, 5]
[1, 2, 3, 5, 4]
[1, 2, 4, 3, 5]
[1, 2, 5, 4, 3]
[1, 3, 2, 4, 5]
[1, 3, 2, 5, 4]
[1, 4, 3, 2, 5]
[1, 4, 5, 2, 3]
[1, 5, 3, 4, 2]
[1, 5, 4, 3, 2]
[2, 1, 3, 4, 5]
[2, 1, 3, 5, 4]
[2, 1, 4, 3, 5]
[2, 1, 5, 4, 3]
[3, 2, 1, 4, 5]
[3, 2, 1, 5, 4]
[3, 4, 1, 2, 5]
[3, 5, 1, 4, 2]
[4, 2, 3, 1, 5]
[4, 2, 5, 1, 3]
[4, 3, 2, 1, 5]
[4, 5, 3, 1, 2]
[5, 2, 3, 4, 1]
[5, 2, 4, 3, 1]
[5, 3, 2, 4, 1]
[5, 4, 3, 2, 1]
kelalaka avatar
флаг in
Как мы видим, определение не обязательно означает использование ручных вычислений. С помощью компьютеров мы тоже можем определить..

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.