Для целей эллиптических кривых и пар с аффинными координатами функции - это рациональные функции (отношения двух многочленов) от двух переменных $Х$ и $Y$ с коэффициентами в совместимых полях. Кривые — это набор точек, в которых конкретная функция равна нулю. Линии - это кривые, где основная функция является многочленом общей степени 1. Функция на кривой (обычно кривая определяется другой функцией) - это набор значений, которые функция принимает в точках кривой, т.е. значение функции в местах, где другая функция равна нулю.
Например, если мы работаем над рациональными числами и рассматриваем функцию $C(X,Y)=Y^2-X^3+X-1$. Это определяет эллиптическую кривую $Е:С(Х,Y)=0$ который мы могли бы написать как $E:Y^2=X^3-X+1$. Рассмотрим также функцию $L(X,Y)=2X-Y-1$, это определяет линию $\ell:L(X,Y)=0$ что мы могли бы обычно писать $\ell:Y=2X-1$. Хотя функции определены для всех рациональных значений $Х$ и $Y$, мы можем специализироваться на значениях, лежащих на кривых. Функция $С$ на кривой $Е$ везде равна нулю, но функция $L$ принимает более интересные значения. Рассмотреть возможность $L$ оценивается в точку $(5,-11)$ который лежит на $Е$. Это 20. Точно так же мы можем говорить о функции $С$ на "кривой" $\ell$ например если мы возьмем точку $(7,13)$ который лежит на $\ell$ мы видим $С(7,13)=-168$.
Ясно, что мы можем говорить о многих различных функциях, определенных на $Е$ и не только $L$.
Существуют интересные отношения между функцией $f$ на кривой, заданной функцией $г$ и функция $г$ на кривой, заданной функцией $f$. Они начинаются с наблюдения, что нули являются общими. В частности, нули $L$ на $Е$ находятся $(0,-1)$, $(1,1)$, и $(3,5)$ которые также являются нулями $С$ на $\ell$.
