Добавление точек в группу эллиптической кривой даст еще одну точку кривой, и все кратные точки в группе также будут содержаться в эллиптической кривой. Существует три правила добавления точек в группу эллиптических кривых, которым следуют:
- + â = â
- (Ï, γ) + â = (Ï, γ)
- (Ï, γ) + (Ï, -γ) = â
скалярное произведение точек на эллиптических кривых выше GF(p) вычисляется по следующим формулам
А) Добавление очков
Пусть на кривой есть две точки P = (x1, y1) и Q = (x2, y2), а их сумма равна R = (x3, y3). P и Q различаются, если P и -Q не совпадают (x1 ≥ x2). Складывая точки, P + Q = R определяется как:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x3, y3) λ = (y2 - y1) (x1 - x1) -1
x3 = λ2 âx1 âx2
y3 = λ (x1-x3) - y1
Î) Удвоение точки
Пусть точка P = (x1, x2) существует на кривой, где x1 ≥ 0. Удвоение точки 2P = R определяется как:
(x1, y1) + (x1, y1) = (x3, y3) Î = (3x12 + a) (2y1) -1
х3 = λ2 ÷ 2x1
y3 = λ (x1-x3) - y1
C) Скалярное умножение точек
Пусть P — точка, а d — битовая строка целого числа. Для вычисления точки Q = dP используются комбинированные методы сложения и удвоения точек. Умножение точки dP = Q выполняется по следующему алгоритму:
если dn-1 = 1, то Q: = P иначе Q: = ï¥
для i = n-2 до 0
Q: = Q + Q
если di = 1, то Q: = Q + P вернуть Q