Умножение двух точек в криптографии на эллиптических кривых

Есть ли ссылки или доказательства того, что умножение двух точек в криптографии на эллиптических кривых ECC не допускается, как в примере ниже? Умножьте PKA открытого ключа на точку (Z) в ECC, поскольку эти два параметра (открытый ключ и точка) являются точками в ECC.

• $C=â²\oplus h(Z.PK_A\mathbin\|T_1)$
• $Pk=[SK]P$
• $Z=[a]P$

куда $P$ является базовой точкой на EC и $a\in\mathbb Z_q^*$.

Добавление точек в группу эллиптической кривой даст еще одну точку кривой, и все кратные точки в группе также будут содержаться в эллиптической кривой. Существует три правила добавления точек в группу эллиптических кривых, которым следуют:

1. + â = â
2. (Ï, γ) + â = (Ï, γ)
3. (Ï, γ) + (Ï, -γ) = â

скалярное произведение точек на эллиптических кривых выше GF(p) вычисляется по следующим формулам А) Добавление очков Пусть на кривой есть две точки P = (x1, y1) и Q = (x2, y2), а их сумма равна R = (x3, y3). P и Q различаются, если P и -Q не совпадают (x1 ≥ x2). Складывая точки, P + Q = R определяется как: (x1, y1) + (x2, y2) = (x3, y3) λ = (y2 - y1) (x1 - x1) -1 x3 = λ2 âx1 âx2 y3 = λ (x1-x3) - y1

Î) Удвоение точки Пусть точка P = (x1, x2) существует на кривой, где x1 ≥ 0. Удвоение точки 2P = R определяется как: (x1, y1) + (x1, y1) = (x3, y3) Î = (3x12 + a) (2y1) -1 х3 = λ2 ÷ 2x1 y3 = λ (x1-x3) - y1

C) Скалярное умножение точек Пусть P — точка, а d — битовая строка целого числа. Для вычисления точки Q = dP используются комбинированные методы сложения и удвоения точек. Умножение точки dP = Q выполняется по следующему алгоритму: если dn-1 = 1, то Q: = P иначе Q: = ï¥ для i = n-2 до 0 Q: = Q + Q если di = 1, то Q: = Q + P вернуть Q