Во-первых, я так не думаю $\дзета(ы)$ так ли эффективно вычислять. Наш интерес к расчету $\дзета(ы)$ для целей теории простых чисел обычно фокусируется на критической линии $\mathrm{Re}s=1/2$ и Формула Римана-Зигеля требует $ О (т ^ {1/2}) $ термины для вычисления $\дзета(1/2+ит)$. Есть ускорение для вычисления кратных значений, но не сильно.
Точно так же я не уверен, что вы подразумеваете под реверсом. Функция не является биективной (например, мы знаем много мест, где она равна нулю).
Тем не менее, были некоторые идеи об использовании аналитической теории чисел для методов факторинга. Метод факторизации группы классов Шанкса можно ускорить, если можно приблизить $L(1,\chi_N)$ (здесь $L$-функция для числового поля $\mathbb Q(\sqrt N)$ и тесно связана с $\дзета(ы)$. Приняв обобщенную гипотезу Римана, Шэнксу удалось сократить время выполнения своего алгоритма до коэффициента $N$ от $O(N^{1/4+\эпсилон})$ к $O(N^{1/5+\эпсилон})$. Такая сложность вряд ли будет учитывать числа больше нескольких сотен бит и не может конкурировать с сито общего числа.
Были идеи использовать $\дзета(ы)$ себя (см. недавнюю статью "Факторинг с подсказкамиSica, например), но они изо всех сил пытаются приблизиться к сложности методов Шанкса 1970-х годов (статья Sica имеет сложность $O(N^{1/3+\эпсилон})$.)
