Как доказать, что матрица $m \times m$ обратима эквивалентна $LI$ над $\mathbb{Z_{2}}$?

Я придумал одну проблему, которая говорит о том, что $м \раз м$ матрица обратима, это то же самое, что сказать, что ее строки ЛИ (линейно независимые) над $\mathbb{Z_{2}}$.

Прежде всего, я хотел бы знать, как это доказать, чтобы доказать следующее:

Предположим $$z_{m+i} = \sum_{j = 0}^{m-1} c_jz_{i+j} \text{ mod 2}$$

куда $(z_1, z_2, ..., z_m)$ содержит вектор инициализации. За $i\geq 1$, определяем:

$$v_i = (z_i, ..., z_{i+m-1})$$, заметив, что $v_1,... ,v_m$ это ряды $м \раз м$ матрица.

Он просит подтвердить с помощью приведенной выше информации:

Для любой $i\geq 1$, $$v_{m+1} = \sum_{j = 0}^{m-1} c_jv_{i+j} \text{ mod 2}$$

я рассчитал $v_1 = (0, c_0z_1, ..., ), v_2 = (0, c_0z_2, c_0z_2 +c_1z_3, ...)$, однако я не вижу способа узнать, как доказать это для $\alpha_i \in\mathbb{R^*}$ что:

$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + ... + \alpha_m v_m = 0$$