Существуют ли PRNG, которые доказуемо проходят следующий битовый тест?

Да, такие ГПСЧ существуют. Один пример Блюм Блюм Шуб:

Существует доказательство, сводящее его безопасность к вычислительной сложности факторинга. Когда простые числа выбраны соответствующим образом и выводятся O(log log M) младших битов каждого xn, то в пределе, когда M становится большим, отличить выходные биты от случайных должно быть по крайней мере так же сложно, как решение квадратичной остаточности задача по модулю М.

Технически это означает, что Блюм-Блюм-Шуб проходит следующий битовый тест, предполагая, что решение проблемы квадратичной остаточности сложно. Мы не можем конкретно доказать, что это так, но мы верим, что это так.

Я подозреваю, что вы также можете снизить безопасность с помощью PRNG на основе HMAC в режиме счетчика, но я лично не знаю об этом в литературе. Однако это не означает, что его не существует.