Уточнение
Я так понял ваш вопрос:
- Участники будут сотрудничать в наборах $(P_1, P_2, \ldots)$ из $t+1$ участников каждый, и восстановить секрет.
- Они будут продолжать это делать, пока каждый участник не узнает секрет (хотя бы один раз)
- Тогда вопрос состоит в том, чтобы найти границы для числа требуемых различных множеств. $P_i$. Проще говоря: «Сколько различных групп участников требуется (не более/не менее), чтобы каждый участник узнал секрет»
Нижняя граница
Всего будет не менее $\lceil\frac{n}{t+1}\rceil$ наборы $t+1$ участников каждый, реконструируя тайну. По крайней мере два из этих множеств будут иметь непустое пересечение, если только $t+1$ делит $n$, в этом случае возможно попарно непересекающееся расщепление.
Верхняя граница
С другой стороны, верхняя граница числа различных наборов $t+1$ участников каждый, такой, чтобы каждый участник узнал секрет хотя бы один раз, будет задано $n - (t + 1) + 1$.
В стороне
Польза конечно сомнительная. Наивная реконструкция работает только в обстановке, когда нет активных противников, и в этом случае вы можете просто сделать так, чтобы первая группа, реконструировавшая ее, передала секрет.
