Рейтинг:1

Решение системы линейных уравнений над бинарным полем с ошибкой

флаг ro

У меня есть система линейных уравнений $f_1, \ldots, f_m$ над бинарными переменными $x_1,\ldots,x_n$ куда $м$ намного больше, чем $n$. Мы знаем, что если все уравнения верны, мы можем легко найти решение, используя исключение Гаусса. Среди тех $м$ уравнений, 90% уравнений верны. Для оставшихся 10% изменяются постоянные условия. Итак, если фактический постоянный член равен 0, ему дается 1 и т. д. Можем ли мы решить систему за полиномиальное время? Вместо 90%, если это 99%, можем ли мы решить за полиномиальное время?

poncho avatar
флаг my
Я хотел бы отметить, что решение для $ n = 256 $, $ p = 0,9 $ поддается обработке (простым приемом выбора 256 случайных уравнений; с вероятностью около $ 2 ^ {-39} $ все 256 уравнений верны, и поэтому гауссова Исключение дает правильный ответ (что легко проверить).
флаг ro
Спасибо. Но если n становится больше, скажем, n=1024, мы не можем решить, используя эту идею.
poncho avatar
флаг my
Не для $p=0,9$; это все еще было бы вполне приемлемо с $ p = 0,99 $
kelalaka avatar
флаг in
И схемы, основанные на этом.. [Есть ли подписи на основе матрицы] (https://crypto.stackexchange.com/q/37562/18298)
Рейтинг:3
флаг ng

Проблема четности обучения с шумом (LPN) выглядит следующим образом.

Позволять $\vec s\in\mathbb{F}_2^n$ быть фиксированным секретом, и $\mathcal{O}_{\vec s}$ быть оракулом, который пробует $\vec a_i\gets\mathcal{U}(\mathbb{F}_2^n)$, $e_i \gets\mathsf{Берн}(\tau)$, и возвращается $(\vec a_i, \langle \vec a_i, \vec s\rangle + e_i)$

Проблема (поиска) LPN заключается в том, что при наличии запроса на доступ к оракулу $\mathcal{O}_{\vec s}$, чтобы восстановить секрет $\vec с$.

Если вы ограничите некоторую границу запроса $м$ сколько раз ты звонишь $\mathcal{O}_{\vec s}$, это именно та проблема, которая вас интересует.

Когда уровень шума $\тау$ постоянна (как функция $n$), iirc самая известная сложность для решения LPN - это алгоритм Блюма, Калаи, Вассермана (BKW), который работает во времени, памяти и сложности выборки. $2^{O(n/\log n)}$. Таким образом, мы не должны (асимптотически) ожидать поливременной сложности.

Конкретно, однако, для достаточно малых $р$ ситуация разрешима. Для получения дополнительной информации об этом см. LPN декодировано. Я включил изображение времени работы различных алгоритмов LPN ниже. Здесь, $\тау \in [0, 1/2]$ является «коэффициентом шума» и может быть записан как $\тау = \мин(р, 1-р)$ в вашей нотации.

Время работы алгоритмов LPN.

Обратите внимание, что для $р = 0,99$, у нас есть это $\тау = 1/100$. Тогда теорема 5 из связанной статьи решает LPN со сложностью времени/запроса.

$$\tilde{\Theta}\left(\left(\frac{1}{(1-\tau)^n}\right)^{\frac{1}{1+\log\left(\frac{ 1}{1-\тау}\право)}}\право).$$

Это дает сложность времени/запроса $ \ приблизительно (100/99) ^ {\ гидроразрыва {n} {1+ \ log (100/99)}} $, что, хотя и не является полиномиальным, должно быть вполне разумным для среднего размера $n$.

флаг ro
Что такое столбец «Образцы»? Это m в моей проблеме? В моем случае m составляет около 4n.
Mark avatar
флаг ng
Да.Это сделает вашу проблему несколько сложнее, чем проблема, которую решает эта статья. Однако стоит упомянуть, что аналогичная проблема («проблема LWE») имеет то, что называется «рандомизированной саморедукцией» — учитывая количество (фиксированных) выборок, вы можете сделать *произвольное* количество выборок (хотя при более высоком уровне шума). Я не знаю, есть ли у LPN такая саморедукция, но я ожидаю, что она есть. В частности, если вы «соберете» свои выборки $\vec a_i$ в матрицу $A$, вы сможете записать их как $(A, As + e)$. Затем вы сможете создать новый образец через $(xA, x(As + e))$ для...
Mark avatar
флаг ng
$x$ должным образом распределены (вероятно, равномерно случайным образом). Однако я формально не анализировал это, и в кратком поиске «рандомизированная саморедукция LPN» ничего не нашел, поэтому, возможно, этот набросок редукции бесполезен / недействителен по какой-то причине.
Mark avatar
флаг ng
Я нашел результат, см. [здесь] (https://cseweb.ucsd.edu/~vlyubash/papers/parityproblem.pdf). Обратите внимание, что этот конкретный результат слишком слаб, чтобы «усилить образцы» в вашей ситуации, но возможно, что последующая работа даст что-то достаточно сильное.
флаг ro
Спасибо большое. Я посмотрю в эти бумаги.

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.