$E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ это набор $г$-точки кручения, то есть все точки, $P$ куда $rP = O$ (Я думаю).
Правильный.
Я предполагаю, что это изоморфно, так как в каждом наборе 4 элемента. Но... я не уверен, какую ценность имеет утверждение об изоморфизме?
Например: вместо этого мы могли бы просто сказать $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ имеет $ г ^ 2 $ элементы (размером $Z_r \раз Z_r$).
Понимание этой структуры очень важно для многих приложений в криптографии. Например, это очень важно в криптографии на основе изогении. Причина этого в том, что как произведение двух циклических групп оно порождается двумя (независимыми) точками. $П, К$ порядка $г$. То есть каждую точку кручения можно записать как $[a]P + [b]Q$ для некоторых коэффициентов $а,б$. Сравните это, скажем, с классической криптографией на эллиптических кривых, где мы работаем в циклической группе, и каждая точка может быть записана как $[x]G$ на один генератор $G$. Нет пунктов заказа $ г ^ 2 $ в $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$, даже если сама группа имеет порядок $ г ^ 2 $.
Из-за этой структуры существуют $г+1$ подгруппы порядка $г$ в торсионной подгруппе. Это важно в криптографии на основе изогении, потому что каждая из этих подгрупп образует ядро изогении, отличной от кривой $Е$.
Изучая структуру $р$-кручения подгруппы, когда $р$ характеристика поля (то, что вы, кажется, назвали $к$ - Я подозреваю, что вы написали $q$ и $к$ наоборот) также классифицирует эллиптические кривые на «обычные» и «суперсингулярные».
Для получения дополнительной информации см. «Арифметика эллиптических кривых» Сильвермана, раздел III, следствие 6.4.
В парной криптографии эта структура также чрезвычайно важна. Хорошим справочником для получения дополнительной информации в этой области является «Пейринги для начинающих» Крейга Костелло. (Особенно см. главу 4).
