Сколько $k$-битных слов из случайной строки битов мы должны извлечь, прежде чем появятся все $2^k$ возможных слов?

lyrically wicked

16.06.2023, 05:28

Позволять $С(Х)$ обозначают мощность множества $Х$. Например, $С(\{0\}) = 1, С(\{0, 2\}) = 2$ и т.д.

Позволять $S$ обозначают (потенциально бесконечную) последовательность случайных битов. Расколоть $S$ в $к$-битные слова $w_1, w_2, w_3, \ldots$ Например, если $к = 4$ и $S = 0001111010100100\ldots$, тогда $w_1 = 0001, w_2 = 1110, w_3 = 1010, \ldots$

На каждом шагу $я$ (здесь $i\geq 1$), выполните следующие подэтапы:

Извлекать $w_i$ и перейти к подэтапу 2;
Если $С(Х) < 2^k$ и $Х$ содержит $w_i$, ничего не делать и перейти к шагу $(я+1)$; если $С(Х) < 2^k$ и $Х$ не содержит $w_i$, помещать $w_i$ в $Х$ и перейти к подэтапу 3;
Если $С(Х) < 2^k$, перейти к шагу $(я+1)$; если $С(Х) = 2^к$, останавливаться.

Вопрос: какова ожидаемая стоимость $я$ когда вышеуказанный алгоритм останавливается? Другими словами, если $S$ является источником действительно случайных или несмещенных псевдослучайных битов, сколько слов мы должны извлечь, чтобы заполнить $Х$ со всеми возможными $к$-битные элементы?

0 + 0

статистический тест

вероятность

Рейтинг:4

Crypto

fgrieu

16.06.2023, 06:27

Это известно как проблема коллекционера купонов, где количество купонов заменено на $2^к$ и $к$ - количество независимых битов, нарисованных ($к=4$ в примере вопроса).

Это ожидается $(k\log(2)+\gamma)\,2^k+\frac12+\mathcal O(2^{-k})$ выделения, где $\гамма\приблизительно0,5772$ является постоянная Эйлера, и $\лог(2)\приблизительно0.6931$.

Когда проводится мало экспериментов, часто бывает достаточно грубого приближения к ожиданию, например. $0,7\,к\,2^к$. В дистрибутиве есть длинный хвост. я думаю стандартное отклонение является $\приблизительно\frac\pi{\sqrt6}\,2^k\приблизительно1.3\раз 2^k$.

0 + 0

Admin

Этот вопрос на других языках:

EN: How many $k$-bit words of a random bitstring are we expected to extract before all $2^k$ possible words occur?

TH: จำนวน $k$-bit word ของ bitstring แบบสุ่มที่เราคาดว่าจะดึงออกมาก่อนที่ $2^k$ คำที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเกิดขึ้น?

RO: Câte $k$-biți cuvinte dintr-un șir de biți aleatoriu trebuie să extragem înainte de apariția tuturor $2^k$ cuvinte posibile?

RU: Сколько $k$-битных слов из случайной строки битов мы должны извлечь, прежде чем появятся все $2^k$ возможных слов?

VI: Có bao nhiêu từ $k$-bit của một chuỗi bit ngẫu nhiên mà chúng tôi dự kiến sẽ trích xuất trước khi tất cả $2^k$ từ có thể xảy ra?

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.