Любой способ найти $g,P$ для максимального размера цикла в Блюме-Микали с $x_{i+1} = g^{x_i} \mod P $ и $x_0 = g$?

Для некоторых $г$ и премьер $P$ последовательность $$x_{i+1} = g^{x_i} \mod P $$ $$ x_0 = г$$ может содержать все числа из $1$ к $P-1$ и при этом это псевдослучайная перестановка этих чисел (EDIT: похоже, это не так).

Есть ли (быстрый) способ найти большие/безопасные значения для $P$ и связанные с ними $г$ который все еще может производить каждое число из $1$ к $P-1$?

Некоторые примеры:

С $P=5, g=3$ последовательность будет $$\начать{разделить} &[3, 3^3\эквив 2, 3^{2} \эквив 4, 3^{4} \эквив 1] \mod 5 \ \эквив&[3, 2, 4, 1] \mod 5 \end{split}$$

Или для $P=23, g=20$ значения будут: $$[20,18,2,9,5,10,8,6,16,13,14,4,12,3,19,17,7,21,15,11,22,1]$$ или же $P=59, г=39$

похоже не каждый $P$ имеет такое значение $г$. В некоторых тестовых прогонах маленький $P$ часто имел не более одного подходящего $г$.
[ 107: 94]
[ 359: 97]
[ 467: 72]
[ 587: 150,375]
[ 719: 284]

Пока только $P=587$ получил более одного $г$ в моем тестовом прогоне. (Редактировать: я проверил только $P=2q+1$ с $q$ премьер, другой $P$ тоже можно работать)

побочные вопросы:
Будет несколько $г$ быть более распространенным для больших $P$?
Или будет больше $P$ склонны не иметь $г$ вообще?

главный вопрос:
Есть ли (быстрый) способ найти большие/безопасные значения для $P$ и связанные $г$ ?

Боюсь, я мало что могу предложить в качестве доказательств, но у меня есть некоторые наблюдения и эвристики.

Во-первых, карта будет перестановкой, только если $г$ является примитивным корнем по модулю $P$. Отметим, что есть $\фи(P-1)$ первообразных корней и что простые числа со многими первообразными корнями будут иметь больше $г$ для которого перестановка может быть полным циклом. Простые числа с наибольшей долей первообразных корней имеют вид $P=2q+1$ куда $q$ также является простым. Обратите внимание, что все ваши примеры имеют эту форму.

Далее мы отмечаем, что не все перестановки возможны, так как у нас всегда будет последовательность $P-1\mapsto 1\mapsto g$. Только пропорция $1/(P-1)(P-2)$ перестановок будет обладать этим свойством и только $1/(P-2)(P-3)$ полные циклы будут иметь это свойство. Мы также отмечаем, что четные значения всегда отображаются в квадратичные вычеты, а нечетные значения всегда отображаются в квадратичные невычеты (с дополнительными ограничениями для других кратных/степеней, которые делят $P-1$). Это более сильное ограничение, которое $1/\binom{P-1}{(P-1)/2}$ перестановок, обладающих этим свойством. Мне не сразу ясно, какая часть полных циклов соответствует его ограничению.

В ХОДЕ ВЫПОЛНЕНИЯ