Рейтинг:1

Состязательная неразличимость с большим количеством сообщений

флаг br

Предположим, что мы играем в игру с состязательной неразличимостью, но состязательная сторона может выбрать три сообщения. $м_0, м_1, м_2$. Конечно, $Pr[M=m_i]=1/3$ за $i=0,1,2$. Я полагаю, что для того, чтобы иметь неразличимость противника, нельзя иметь преимущество больше, чем $1/3$. Вопрос в том, сильнее ли это версии с двумя сообщениями. Интуитивно так и есть, но тогда мы могли бы получать все больше и больше сообщений и уменьшать преимущество враждебности. Это необходимо? Почему-то в определении два сообщения - этого достаточно?

Рейтинг:0
флаг cn

Примечание: здесь я использую индексы $0,1,2$ и $0,1$ вместо $1, 2, 3$ и $1,2$.

Мы должны показать $3$-проблема неразличимости эквивалентна $2$- неразличимость одна.

$2$- неразличимость легче, чем $3$-неразличимость.

Сначала давайте рассмотрим, что существует противник $\mathcal{A}_3$ против $3$-проблема неразличимости с преимуществом $\эпсилон$.

Определять $\mathcal{B}^{\mathcal{A}_3}_2$:

  • Получить три сообщения $(м_0, м_1, м_2)$ от $\mathcal{A}_3$

  • $x \xleftarrow{\$} \mathbb{Z}_3$

  • $(m^\prime_0, m^\prime_1) := (m_{(1+ x \mod 3)}, m_{(2+ x \mod 3)})$

  • послать $(м^\prime_0, м^\prime_1)$ претенденту и получить $с$.

  • послать $с$ к $\mathcal{A}_3$ и получить $b$.

  • Если $б=х$ затем вернуть случайный бит $b^\prime$ иначе вернуться $(b-x\mod 3)$.

Сначала докажем, что $\mathcal{B}_2$ имеет вероятность выиграть $\frac{1-\epsilon}{4} +\epsilon$.

Пусть звонит $b''$ бит, выбранный претендентом.

$\mathbb{P}(\mathcal{B}_2 победы)= \mathbb{P}(b- x \mod 3 = b'')\mathbb{P}(\mathcal{B}_2 победы| б- х \mod 3 = б'') + \mathbb{P}(b- x \mod 3 \neq b'')\mathbb{P}(\mathcal{B}_2 выигрывает| b- x \mod 3 \neq b'')$

$= \epsilon \cdot 1 + (1 - \epsilon)\mathbb{P}((b=x) \wedge b^\prime =b'' | b- x \mod 3 \neq b^{\prime\prime}) $

$= \epsilon + (1 - \epsilon)\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}.qed$

Теперь мы можем посмотреть преимущество: $|\frac{1}{2} - (\frac{1-\epsilon}{4} +\epsilon)|=|\frac{1- 3 \epsilon}{4}| = \frac{1}{12}|\frac{1}{3}- \epsilon|$.

Если $|\frac{1}{3}- \epsilon|$ не пренебрежимо мало, это подразумевает $|\frac{1}{2} - (\frac{1-\epsilon}{4} +\epsilon)|$ также не является незначительным.

$3$- неразличимость легче, чем $2$-неразличимость.

Теперь давайте рассмотрим, что существует противник $\mathcal{A}_2$ против $2$-проблема неразличимости с преимуществом $\эпсилон$.

Определять $\mathcal{B}^{\mathcal{A}_2}_3$:

  • Получить два сообщения $(м_0, м_1)$от $\mathcal{A}_2$

  • $b \xleftarrow{\$} \mathbb{Z}_2$

  • $m_2 := m_{b}$

  • послать $(м_0, м_1, м_2)$ претенденту и получить $с$.

  • послать $с$ к $\mathcal{A}_2$ и получить $b^\prime$.

  • $x \xleftarrow{\$} \big\{b, 2\big\}$

  • Если $b^\prime=b$ затем верните x, иначе верните $b^\prime$

При первом доказательстве вычислите вероятность выигрыша для $\mathcal{B}_3$.

$\mathbb{P}(\mathcal{B}_3 победы) = \frac{1}{3}\mathbb{P}(\mathcal{B}_3 победы|b''=2) + \frac{1}{3}\mathbb{P}(\mathcal{B}_3 победы| b''=b)+ \frac{1}{3}\mathbb{P}(\mathcal{B}_3 победы| b''=1 - b) $

$\mathbb{P}(\mathcal{B}_3 победы) = \frac{1}{3}\mathbb{P}(b'=b \клин x=2|b''=2) + \frac{1}{3}\mathbb{P}(b'=b \клин x=b| b''=b)+ \ гидроразрыва {\ эпсилон} {3}. $

Так как $х$ выбирается независимо от $b'$:

$\mathbb{P}(\mathcal{B}_3 победы)$ $= \frac{1}{3}\mathbb{P}(b'=b|b''=2) \cdot \mathbb{P}(x=2|b''=2) + \frac{1}{3}\mathbb{P}(b'=b|b''=b') \cdot \mathbb{P}(x=b''|b''=b')+ \фракция{\эпсилон}{3} $

$\mathbb{P}(\mathcal{B}_3 победы) = \frac{1}{3}\epsilon \cdot \frac1 2 + \frac{1}{3}\epsilon \cdot \frac1 2+ \ гидроразрыва {\ эпсилон} {3} = \ гидроразрыва {2 \ эпсилон} {3}. $

Теперь вычисляем преимущество $\mathcal{B}_3$: $|\frac1 3 - \frac{2\epsilon}{3} |= \frac1 6 |\frac 1 2 - \epsilon|.$

Если $|\frac{1}{2}- \epsilon|$ не пренебрежимо мало, это подразумевает $|\frac{1}{3} - \frac{2\epsilon}{3}|$ также не является незначительным.

Мы делаем вывод, что эти проблемы эквивалентны.

флаг cn
Я думаю, что на последнем шаге первого сокращения пропущены некоторые слова. (Или, по крайней мере, я не могу понять смысл предложения.)
Ievgeni avatar
флаг cn
Я исправил два предложения заключения.
флаг cn
Я говорю о том, что «если $b=x$ возвращает случайный бит, то возвращает $(b- x \mod 3)+1$». Я предполагаю, что «$=$» должно быть «$\neq$», а «else» отсутствует, но я не совсем уверен, к чему вы стремились.
Ievgeni avatar
флаг cn
хорошо, спасибо, я исправил этот шаг и изменил обозначения, чтобы было понятнее
Awerde avatar
флаг br
Не могли бы вы пояснить второе доказательство? Я не могу понять, почему существует $\frac{1}{3}\mathbb{P}(\mathcal{B}_3wins|b''=2)...$. Берем ли мы $b''=2$, потому что $m_2=m_b$?
Ievgeni avatar
флаг cn
@Awerde Мое второе сокращение было неправильным. Я исправил это сейчас.

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.