Думаю, нет. Если бы мы могли распространить такую конструкцию на группу черного ящика, это дало бы $q^{1/4}$ метод решения дискретных логарифмов в этой группе. Также обратите внимание, что если ограничение размера на $а$, $b$, $к$ и $к'$ удаляется, проблема не определена четко (может быть несколько решений даже в случае с ограничениями; я не уверен).
Несколько решений, если ограничения по размеру игнорируются
В общем случае мы можем считать это изоморфным задаче линейной алгебры в показателях. Мы пишем $c_1=а+км_1$, $C_i=g^c_i\mod p$ и так далее. Умножая термины $C_iC_j$ или возведения в степень членов $C_i^d$ мы можем добавить $c_i+c_j$ или умножить наши неизвестные показатели на константы $dc_i$, чтобы мы могли найти $г^х$ куда $х$ представляет собой произвольную линейную комбинацию этих $c_i$ (оракул Диффи-Хеллмана позволил бы нам сформировать $g^y$ куда $у$ является произвольным полиномиальным выражением в $c_i$). Ограничившись такими линейными комбинациями (как это было бы в случае с группой черного ящика), проблема сводится к тому, чтобы найти линейную комбинацию наших $c_i$ что равно $а$ или же $b$.
У нас есть система
$$\left(\matrix{1&0&m_1&0\ 0&1&0&-m_2\ 1&0&m_3&0\ 0&1&0&-m_4}\right)\left(\matrix{a\ b\ k\ k'}\right)=\left (\matrix{c_1\ c_2\c_3\c_4}\right)\pmod{\phi(p)}$$
если мы напишем $ млн $ для матрицы 4x4 и $\mathbf с$ для правого вектора мы могли бы надеяться найти нашу линейную комбинацию из $M^{-1}\mathbf c$. Однако мы видим, что
$$\mathrm{det}(M)=m_1m_4-m_2m_3\equiv 0\pmod{\phi(p)}$$
так что наша матрица необратима.
Линейная алгебра средней школы теперь говорит нам, что у нас либо нет решений, либо их много. Тот факт, что наша конструкция определяет одно решение, говорит нам о том, что существует множество решений. Небольшое сокращение строки говорит нам, что $m_2c_1+m_1c_2-m_3c_3-m_1c_4\экв 0\pmod{\phi(p)}$. В частности, если, например. $m_1$ взаимно прост с $\фи(р)$, мы можем определить $C_4$ данный $C_1$, $C_2$ и $C_3$ и поэтому 4-е уравнение не дает нам никакой дополнительной информации. При отсутствии дальнейшего вырождения отсюда следует, что мы можем, например, выбрать произвольное $г^а$ а затем найти $g^k\эквив(C_1/g^a)^{1/m_1}\pmod p$, $g^b\эквив C_2(g^k)^{m_2}\pmod p$ и $g^{k'}\эквив(C_3/g^a)^{1/m_3}$ которые производят $C_1$, $C_2$, $C_3$ и $C_4$ что нам представляют.Однако $а$, $b$, $к$ и $к'$ связанные с ними, не обязательно будут соответствовать ограничениям по размеру.
Недопустимая модель черного ящика
Теперь предположим, что мы можем расширить такой решатель до мультипликативной группы черного ящика. Предположим, что нам дана задача дискретного логарифмирования для генератора $г$ порядка $q$ и элемент $C_1$ такая группа. Мы выбираем произвольно $m_1$ и по счетному аргументу существует большая вероятность того, что $c_1$ можно записать в виде $c_1\экв а+км_1\pmod q$ с $a,k\le q^{1/2}$. Написать $d=[q^{1/2}]$. Теперь мы вызываем наш решатель с $C_1=C_1$, $C_2=g^d/C_1$, $C_3=C_1g^{m_1}$ и $C_4=g^d/C_3$ и $m_1=m_2=m_3=m_4$ (соответствует значениям $b=d-a$ и $k'=k+1$ которые удовлетворяют ограничениям по размеру). Наш решатель вернется $г^а$ от которого мы можем восстановить $а$ используя метод маленьких шагов/гигантских шагов в $O(\корень 4\из q)$ шаги. Точно так же мы можем восстановить $g^k=(C_1/g^a)^{1/m_1}$ и $к$ в другой $O(\корень 4\из q)$ шаги. Это позволяет нам вычислить $c_1$ с $O(\корень 4\из q)$ групповые операции, которые невозможны для группы черного ящика.
