Я думаю, вы неправильно поняли акцию реконструкции. Доля $(а,б,в)$ в этом контексте тройка значений, соответствующая полиномиальной оценке, а именно $(\сигма(1),\сигма(2),\сигма(3))$.
Задача долевой реконструкции состоит в том, что с помощью
- любые два из приведенных выше значений $\сигма(я)$, и
- знание того, что $\сигма(х) = \сигма(0)+ах$ является полиномом линейной степени,
восстановить $\сигма(0)$.
Это можно легко сделать.
Скажем, у нас есть $\sigma(i) = \sigma(0) + ai$ и $\sigma(j) = \sigma(0) + aj$.
Мы можем вычесть их и «решить» для $а$ чтобы получить это
$a = (i-j)^{-1}(\sigma(i)-\sigma(j))$, куда $а^{-1}$ является обратным по модулю 11.
Затем, используя это значение $а$, восстановить просто $\сигма(0)$.
Обратите внимание, что вычисленное значение $а$ одинакова во всех 3-х случаях.
Когда $(i,j) = (1,2)$, у нас есть это
$$a = (1-2)^{-1}(3-7) = 4$$
когда $(i,j) = (1,3)$ у нас есть это
$$a = (1-3)^{-1}(3-0) = (-2)^{-1}3 = (-6)3\экв -18\bмод 11 \экв 4\bмод 11. $$
Точно так же, когда $(i,j) = (2,3)$, у нас есть это
$$a = (2-3)^{-1}(7-0) = -7\экв 4\bmod 11.$$
Далее, для любого индекса $я$, у нас есть это $\sigma(0) = \sigma(i) - ai\bmod 11 \equiv \sigma(i) - 4i\bmod 11$.
Несложно проверить, что для любой пары $(я, \сигма(я))$, а именно для $(1, 3)$, $(2,7)$, или же $(3,0)$, получается $10\bmod 11$ (или же $-1\bmod 11$ --- это одно и то же значение).
При всем при этом я не нахожу объяснение снижения степени в связанном ответе настолько ясным лично.
я уже объяснял здесь.
Грубо говоря, можно добиться уменьшения степени, комбинируя
- рассмотрение интерполяции / оценки доли как «изменения основы» и
- снижение с степени $2т$ многочлен в степени $t$ многочлен через проектирование на первый $t$ координаты (в соответствующем базисе).
Если вам удобнее пользоваться линейной алгеброй, это дает четкую «геометрическую» картину происходящего.
Конечно, это зависит от вашего фона.
