Большое предостережение, что я не вероятностный, и ваш ответ действительно не включает много криптографии, поэтому может лучше подойти для того, чтобы где-то спросить вероятностного (скажем, на math.se или что-то в этом роде).
Как упоминалось в комментариях, это легко ложно. Позволять $P_n, Q_n$ оба распределяются как любое симметричное распределение, и пусть $R_n\sim \{-1,1\}$ быть однородным.
Определение совместных распределений $P_n\раз R_n$ и $Q_n\раз R_n$ следующим образом --- маргиналы на обоих $Х$ и $Y$ фиксируются, как указано выше, но
$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E] = \Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b]\Pr[R_n = b].$$
Теперь, когда мы обсуждаем симметрию, напишем $X = X_1\чашка X_{-1}$.
Предположим, что симметрия меняет местами эти два компонента.
Теперь определим условные распределения
$$\Pr[(P_n\times R_n)\in E\mid R_n = b] = \begin{cases}0 & E\cap X_{b}\neq \emptyset \
2\Pr[P_n(E_X)]&\текст{еще}
\end{случаи}.$$
Это означает, что условное распределение определяется таким образом, что случайная величина с $R_n = b$ в $X_b$, например компоненты $P_n, R_n$ «идеально коррелированы». За $Q_n$, сделайте то же самое, но поменяйтесь ролями $X_1, X_{-1}$, например имеют $Q_n, R_n$ быть «совершенно антикоррелированным».
Легко видеть, что эти случайные величины имеют одинаковые маргиналы и, следовательно, совершенно неразличимы (и статистически неразличимы также).
это также сразу видно, что совместные распределения $P_n\раз R_n$ и $Q_n\раз R_n$ имеют непересекающиеся опоры, поэтому
$$0 = \Delta(P_n, Q_n) \leq \Delta(P_n\times R_n, Q_n\times R_n) = 1,$$
и поэтому они не являются случайным образом статистически неразличимыми.
Обратите внимание, что если вы предполагаете $P_n, R_n$ независимы (на вашем языке $Е$ факторы как $E_X\умножить на E_Y$ Я думаю), ответ легко верен.
В качестве наброска доказательства, согласно неравенству обработки данных, мы имеем, что $\Delta(P_n, Q_n) \geq \Delta(f(P_n), f(Q_n))$ для любого рандомизированного $f$, в том числе $f : от X\к X\умножить на Y$ образцы $R_n$ самостоятельно и выводит $f(x) = (x, R_n)$.
Это не то, о чем вы спрашивали, но все же полезно это отметить.
