Рейтинг:0

Даны $N$ с $d$ простыми множителями. Можно ли вычислить количество уникальных значений $x^d \mod N$ для $d>2$? Уменьшается ли общая сумма в какой-то момент?

флаг at

Дан номер $N$ с $д$ уникальные первичные факторы. Может ли количество уникальных значений $v$ с $$v \эквив x^d \mod N$$ $$x\in[0,N-1]$$ $$N = \prod_{i=1}^{d} p_i$$ рассчитываться для $д>2$? (Q1)
Уменьшается ли общая сумма в какой-то момент? (Q2)


Для упрощения будем считать, что каждый простой множитель $p_i > 5$.
Или для целевого варианта использования каждый $p_i$ достаточно велик, чтобы избежать простой факторизации.


Решение пробной версии:
За $д=1$ это тривиально. Если мы вставим каждое значение из $0$ к $N-1$ за $х$ в $x^1 \mod N$. Там у нас всегда $N$ уникальные значения.
Так $N_{х^1} = N$

За $д=2$ у нас есть две взаимодействующие группы из $p_1$ и $p_2$ с размером $p_1-1$ и $p_2-1$ с общим простым делителем не менее $2$. Если мы объединим их, мы получим (в большинстве случаев) размер группы
$$L = \mathrm{lcm}(\frac{p_1-1}{2}-1, \frac{p_2-1}{2}-1)$$ И ряд $L_n$ экземпляры $$L_n = \mathrm{gcd}(\frac{p_1-1}{2}-1, \frac{p_2-1}{2}-1)$$ И некоторые частные случаи для $0$, $1$, числа с '$\frac{p_i-1}{2}$'-я степень ($\мод Н$) и какой-то особый частный случай, если база также $p_i^2$
При этом мы можем вычислить общее количество квадратичных вычетов ($д=2$) $N_{х^2}$ среди $\mathbb Z/N\mathbb Z$: $$N_{x^2} = L_n\cdot L + 2 + 2 (\frac{p_1-1}{2}-1)+2(\frac{p_2-1}{2}-1)+2$ $ (подробнее в отвечать и вопрос)

Q1: Существует ли более общее уравнение для $д>2$?


Тестирование вокруг:
В каком-то тесте на $d \in [2,3,4,5,6]$ Я вычислил все возможные значения и заметил соотношение $$R_d = \frac{N_{x^d}}{N}$$ возможно $1$ за $d\in [3,5]$ но и просто $0.1$. За $д=2$ это $R_2 \около 0,25$.
$R_4$ был всегда $<0.05$ в тестовых примерах. $R_6$ кажется, даже меньше с некоторыми $R_6<0,001$

Q2.1: Будет ли это отношение продолжать уменьшаться для больших (четных) $д$?

Q2.2: Общая сумма $N_{x^d}$ уменьшится в какой-то $д$?
Предположим $N$ становится на 512 бит больше для каждого нового простого множителя, будет ли $д$$d \cdot 512$-кусочек $N$) у которого меньше $N_{x^d}$ чем $N_{х^2}$$2\cdot 512 = 1024$-кусочек $N$)? (Q2.3)


Примеры:
$д=2$
$N = 50471 =41\cdot 1231$ с $N_{x^2}=12936$ и $R_2 = 0,256$
$ N = 28363 = 113 \cdot 251$ с $N_{x^2}= 7182 $ и $R_2 = 0,253$

$д=3$
$N =18031=13\cdot 19\cdot 73$ с $N_{x^3}=875$ и $R_3 =0,04$
$N =11339=17\cточка 23\cточка 29$ с $N_{x^3}=11339$ и $R_3 =1.0$

$д=4$
$N =97867=7\cточка 11\cточка 31\cточка 41$ с $N_{x^4}=4224$ и $R_4=0,04$
$N =63427=7\cточка 13\cточка 17\cточка 41$ с $N_{x^4}=880$ и $R_4=0,01$

$д=5$
$N =3453307=11\cточка 13\cточка 19\cточка 31\cточка 41$ с $N_{x^5}=46683$ и $R_5=0,0135$
$N =1659931=7\cточка 13\cточка 17\cточка 29\cточка 37$ с $N_{x^5}=1659931$ и $R_5=1.0$

$д=6$
$N=28709681=7\cточка 11\cточка 13\cточка 23\cточка 29\cточка 43$ с $N_{x^6}=51840$ и $R_6=0,0018$
$N=35797223=7\cточка 11\cточка 17\cточка 23\cточка 29\cточка 41$ с $N_{x^6}=408240$ и $R_6=0,011$
$N=28527037=7\cточка 11\cточка 17\cточка 19\cточка 31\cточка 37$ с $N_{x^6}=18109$ и $R_6=0.000635$

Рейтинг:1
флаг ru
  1. Да, бесплатно $N$ формула $$\prod_{i=1}^d\left(1+\frac{p_i-1}{(d,p_i-1)}\right)$$

  2. Приведенное выше выражение будет равно $N$ если $(d,p_i-1)=1$ для всех $я$. Для нечетных $д$ мы можем найти сколь угодно много простых чисел с этим свойством. Отсюда следует, что супремум $R_d$ равно 1, для нечетного $д$ который включает в себя большие значения $д$

И наоборот, для любого заданного $д$ мы можем построить $N$ из простых чисел, все из которых являются 1 модом $д$. Таким способом мы можем найти $N$ такой, что $R_d(N)=O(d^{-d})$, но такой $N$ немногочисленны.

J. Doe avatar
флаг at
интересно, я думал, что это более сложное уравнение. Спасибо, что ответили еще раз. Только одно замечание: является ли $(a,b)$ обычным краткосрочным термином для $\mathrm{gcd}(a,b)$ или вы по какой-то причине просто опустили их?
J. Doe avatar
флаг at
так относится к Q2.2. Если $N$ увеличивается примерно на $B$ бит с каждым множителем, нам также потребуется такое количество уникальных простых множителей ($2^B$), чтобы уменьшить общее количество, что невозможно (не так много простых чисел)
Daniel S avatar
флаг ru
$(a,b)$ для наибольшего общего делителя является обычным обозначением в теории чисел, хотя более явное $\mathrm{gcd}(a,b)$ часто используется в криптографии. Я думаю, что если $d$ не очень велико, а $B$ не очень мало, простых чисел должно быть много.

Ответить или комментировать

Большинство людей не понимают, что склонность к познанию нового открывает путь к обучению и улучшает межличностные связи. В исследованиях Элисон, например, хотя люди могли точно вспомнить, сколько вопросов было задано в их разговорах, они не чувствовали интуитивно связи между вопросами и симпатиями. В четырех исследованиях, в которых участники сами участвовали в разговорах или читали стенограммы чужих разговоров, люди, как правило, не осознавали, что задаваемый вопрос повлияет — или повлиял — на уровень дружбы между собеседниками.