Это очень сложно и нерешенной в общем математической задаче. Возможно, вам следует сфокусировать свой вопрос на конкретный случаев и, возможно, задайте их на mathoverflow, но всегда есть риск, что они могут быть проигнорированы, если вы не продемонстрируете предварительное исследование и не зададите хорошо продуманные вопросы.
Конкретный случай $N$ Prime рассматривал Игорь Шпарлинский. Лучше всего начать с поиска ссылок на его работы. Как поясняется в аннотации к упомянутой ниже статье, эта проблема тесно связана с другими задачами и приложениями теории чисел.
Чуа и Шпарлински, О структуре цикла повторного возведения в степень по простому модулю, Журнал теории чисел, том. 107 (2004), стр. 345–356.
Я мог получить доступ к копии через
Эльзевир здесь
Отметим, что некоторые результаты были получены в предположении, что обобщенная гипотеза Римана которую удалили Шпарлинский и его соавтор, уже одно это должно сказать вам, насколько сложна эта проблема в той общности, которую вы, кажется, хотите. В этой статье оцениваются некоторые моменты длины цикла и числа циклов.
Я полагаю, что вам может быть полезнее, если вы проведете дополнительные исследования и посмотрите, какие другие связанные результаты были получены в литературе, прежде чем снова задать связанный очень общий и математический вопрос здесь, на криптостековой бирже.